Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68534 / 43690
↖ ↑ ↗
← N 51.327179°
E  8.234253°		 ← 190.81 m → N 51.327179°
E  8.236999°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 51.325463°
E  8.234253°		 ← 190.82 m →
36 410 m²		 N 51.325463°
E  8.236999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522876739501953 y=0.333332061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522876739501953 × 217)
    floor (0.522876739501953 × 131072)
    floor (68534.5)     		tx = 68534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333332061767578 × 217)
    floor (0.333332061767578 × 131072)
    floor (43690.5)     		ty = 43690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68534 / 43690 ti = "17/68534/43690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68534/43690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68534 ÷ 217
    68534 ÷ 131072     		x = 0.522872924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43690 ÷ 217
    43690 ÷ 131072     		y = 0.333328247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522872924804688 × 2 - 1) × π
    0.045745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14371483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333328247070312 × 2 - 1) × π
    0.333343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04722950909975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14371483} λ = 0.14371483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04722950909975))-π/2
    2×atan(2.84974497864517)-π/2
    2×1.23331230013499-π/2
    2.46662460026999-1.57079632675     		φ = 0.89582827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14371483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89582827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.327179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68534 KachelY 43690 0.14371483 0.89582827 8.234253 51.327179
    Oben rechts KachelX + 1 68535 KachelY 43690 0.14376276 0.89582827 8.236999 51.327179
    Unten links KachelX 68534 KachelY + 1 43691 0.14371483 0.89579832 8.234253 51.325463
    Unten rechts KachelX + 1 68535 KachelY + 1 43691 0.14376276 0.89579832 8.236999 51.325463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89582827-0.89579832) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dl = 190.811449999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89582827-0.89579832) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dr = 190.811449999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14371483-0.14376276) × cos(0.89582827) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		do = 190.81229787568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14371483-0.14376276) × cos(0.89579832) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624895760617379 × 6371000     		du = 190.819438000523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89582827)-sin(0.89579832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624872378126626-0.624895760617379)×R²
    abs(0.14376276-0.14371483)×2.33824907536206e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33824907536206e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33824907536206e-05×40589641000000     		ar = 36409.8524470395m²