Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68530 / 43579
↖ ↑ ↗
← N 51.517289°
E  8.223267°		 ← 190.02 m → N 51.517289°
E  8.226013°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
N 51.515580°
E  8.223267°		 ← 190.03 m →
36 113 m²		 N 51.515580°
E  8.226013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522846221923828 y=0.332485198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522846221923828 × 217)
    floor (0.522846221923828 × 131072)
    floor (68530.5)     		tx = 68530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332485198974609 × 217)
    floor (0.332485198974609 × 131072)
    floor (43579.5)     		ty = 43579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68530 / 43579 ti = "17/68530/43579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68530/43579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68530 ÷ 217
    68530 ÷ 131072     		x = 0.522842407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43579 ÷ 217
    43579 ÷ 131072     		y = 0.332481384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522842407226562 × 2 - 1) × π
    0.045684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14352308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332481384277344 × 2 - 1) × π
    0.335037231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05255050495757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14352308} λ = 0.14352308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05255050495757))-π/2
    2×atan(2.86494887393202)-π/2
    2×1.23497132036808-π/2
    2.46994264073616-1.57079632675     		φ = 0.89914631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14352308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.223267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89914631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.517289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68530 KachelY 43579 0.14352308 0.89914631 8.223267 51.517289
    Oben rechts KachelX + 1 68531 KachelY 43579 0.14357101 0.89914631 8.226013 51.517289
    Unten links KachelX 68530 KachelY + 1 43580 0.14352308 0.89911648 8.223267 51.515580
    Unten rechts KachelX + 1 68531 KachelY + 1 43580 0.14357101 0.89911648 8.226013 51.515580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89914631-0.89911648) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89914631-0.89911648) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14352308-0.14357101) × cos(0.89914631) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62227846002842 × 6371000     		do = 190.020213779558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14352308-0.14357101) × cos(0.89911648) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622301810555103 × 6371000     		du = 190.027344143788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89914631)-sin(0.89911648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62227846002842-0.622301810555103)×R²
    abs(0.14357101-0.14352308)×2.33505266835632e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33505266835632e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33505266835632e-05×40589641000000     		ar = 36113.4358213219m²