Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6853 / 5390
↖ ↑ ↗
← N 52.295042°
W 29.421387°		 ← 1 494.30 m → N 52.295042°
W 29.399414°		 →
↑
1 494.51 m
↓
↑
1 494.51 m
↓
N 52.281602°
W 29.421387°		 ← 1 494.75 m →
2 233 581 m²		 N 52.281602°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418304443359375 y=0.329010009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418304443359375 × 214)
    floor (0.418304443359375 × 16384)
    floor (6853.5)     		tx = 6853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329010009765625 × 214)
    floor (0.329010009765625 × 16384)
    floor (5390.5)     		ty = 5390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6853 / 5390 ti = "14/6853/5390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6853/5390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6853 ÷ 214
    6853 ÷ 16384     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5390 ÷ 214
    5390 ÷ 16384     		y = 0.3289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3289794921875 × 2 - 1) × π
    0.342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07455354188318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07455354188318))-π/2
    2×atan(2.92868507338778)-π/2
    2×1.24175849855547-π/2
    2.48351699711095-1.57079632675     		φ = 0.91272067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91272067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.295042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6853 KachelY 5390 -0.51350007 0.91272067 -29.421387 52.295042
    Oben rechts KachelX + 1 6854 KachelY 5390 -0.51311657 0.91272067 -29.399414 52.295042
    Unten links KachelX 6853 KachelY + 1 5391 -0.51350007 0.91248609 -29.421387 52.281602
    Unten rechts KachelX + 1 6854 KachelY + 1 5391 -0.51311657 0.91248609 -29.399414 52.281602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91272067-0.91248609) × R
    0.000234579999999984 × 6371000     		dl = 1494.5091799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91272067-0.91248609) × R
    0.000234579999999984 × 6371000     		dr = 1494.5091799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(0.91272067) × R
    0.000383499999999981 × 0.611595501513751 × 6371000     		do = 1494.29813954519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(0.91248609) × R
    0.000383499999999981 × 0.611781077487618 × 6371000     		du = 1494.75155333226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91272067)-sin(0.91248609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611595501513751-0.611781077487618)×R²
    abs(-0.51311657--0.51350007)×0.000185575973866814×R²
    0.000383499999999981×0.000185575973866814×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185575973866814×40589641000000     		ar = 2233581.11298202m²