Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6853 / 2068
↖ ↑ ↗
← N 79.088462°
W 29.421387°		 ← 462.50 m → N 79.088462°
W 29.399414°		 →
↑
462.60 m
↓
↑
462.60 m
↓
N 79.084302°
W 29.421387°		 ← 462.67 m →
213 990 m²		 N 79.084302°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418304443359375 y=0.126251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418304443359375 × 214)
    floor (0.418304443359375 × 16384)
    floor (6853.5)     		tx = 6853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126251220703125 × 214)
    floor (0.126251220703125 × 16384)
    floor (2068.5)     		ty = 2068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6853 / 2068 ti = "14/6853/2068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6853/2068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6853 ÷ 214
    6853 ÷ 16384     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2068 ÷ 214
    2068 ÷ 16384     		y = 0.126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126220703125 × 2 - 1) × π
    0.74755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34852458618579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34852458618579))-π/2
    2×atan(10.4701105774299)-π/2
    2×1.47557519142593-π/2
    2.95115038285186-1.57079632675     		φ = 1.38035406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38035406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.088462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6853 KachelY 2068 -0.51350007 1.38035406 -29.421387 79.088462
    Oben rechts KachelX + 1 6854 KachelY 2068 -0.51311657 1.38035406 -29.399414 79.088462
    Unten links KachelX 6853 KachelY + 1 2069 -0.51350007 1.38028145 -29.421387 79.084302
    Unten rechts KachelX + 1 6854 KachelY + 1 2069 -0.51311657 1.38028145 -29.399414 79.084302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38035406-1.38028145) × R
    7.26099999999175e-05 × 6371000     		dl = 462.598309999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38035406-1.38028145) × R
    7.26099999999175e-05 × 6371000     		dr = 462.598309999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(1.38035406) × R
    0.000383499999999981 × 0.189293184357591 × 6371000     		do = 462.495967537414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(1.38028145) × R
    0.000383499999999981 × 0.189364481114245 × 6371000     		du = 462.670165370069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38035406)-sin(1.38028145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189293184357591-0.189364481114245)×R²
    abs(-0.51311657--0.51350007)×7.12967566547928e-05×R²
    0.000383499999999981×7.12967566547928e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.12967566547928e-05×40589641000000     		ar = 213990.144870272m²