Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6853 / 1472
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W 29.421387°		 ← 369.22 m → N 81.308321°
W 29.399414°		 →
↑
369.26 m
↓
↑
369.26 m
↓
N 81.305000°
W 29.421387°		 ← 369.36 m →
136 366 m²		 N 81.305000°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418304443359375 y=0.089874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418304443359375 × 214)
    floor (0.418304443359375 × 16384)
    floor (6853.5)     		tx = 6853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089874267578125 × 214)
    floor (0.089874267578125 × 16384)
    floor (1472.5)     		ty = 1472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6853 / 1472 ti = "14/6853/1472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6853/1472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6853 ÷ 214
    6853 ÷ 16384     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1472 ÷ 214
    1472 ÷ 16384     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6853 KachelY 1472 -0.51350007 1.41909791 -29.421387 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 6854 KachelY 1472 -0.51311657 1.41909791 -29.399414 81.308321
    Unten links KachelX 6853 KachelY + 1 1473 -0.51350007 1.41903995 -29.421387 81.305000
    Unten rechts KachelX + 1 6854 KachelY + 1 1473 -0.51311657 1.41903995 -29.399414 81.305000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41903995) × R
    5.79600000001346e-05 × 6371000     		dl = 369.263160000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41903995) × R
    5.79600000001346e-05 × 6371000     		dr = 369.263160000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(1.41909791) × R
    0.000383499999999981 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 369.221556087967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51311657) × cos(1.41903995) × R
    0.000383499999999981 × 0.151174555659704 × 6371000     		du = 369.36154159039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41903995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.151174555659704)×R²
    abs(-0.51311657--0.51350007)×5.72941244407488e-05×R²
    0.000383499999999981×5.72941244407488e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.72941244407488e-05×40589641000000     		ar = 136365.764322943m²