Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68529 / 72304
↖ ↑ ↗
← S 18.271086°
E  8.220520°		 ← 290.03 m → S 18.271086°
E  8.223267°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
S 18.273694°
E  8.220520°		 ← 290.02 m →
84 110 m²		 S 18.273694°
E  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522838592529297 y=0.551639556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522838592529297 × 217)
    floor (0.522838592529297 × 131072)
    floor (68529.5)     		tx = 68529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551639556884766 × 217)
    floor (0.551639556884766 × 131072)
    floor (72304.5)     		ty = 72304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68529 / 72304 ti = "17/68529/72304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68529/72304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68529 ÷ 217
    68529 ÷ 131072     		x = 0.522834777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72304 ÷ 217
    72304 ÷ 131072     		y = 0.5516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522834777832031 × 2 - 1) × π
    0.0456695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14347514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.32443693662854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14347514} λ = 0.14347514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.32443693662854))-π/2
    2×atan(0.722934296886452)-π/2
    2×0.625952858137813-π/2
    1.25190571627563-1.57079632675     		φ = -0.31889061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14347514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.220520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31889061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.271086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68529 KachelY 72304 0.14347514 -0.31889061 8.220520 -18.271086
    Oben rechts KachelX + 1 68530 KachelY 72304 0.14352308 -0.31889061 8.223267 -18.271086
    Unten links KachelX 68529 KachelY + 1 72305 0.14347514 -0.31893613 8.220520 -18.273694
    Unten rechts KachelX + 1 68530 KachelY + 1 72305 0.14352308 -0.31893613 8.223267 -18.273694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31889061--0.31893613) × R
    4.55199999999656e-05 × 6371000     		dl = 290.007919999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31889061--0.31893613) × R
    4.55199999999656e-05 × 6371000     		dr = 290.007919999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14347514-0.14352308) × cos(-0.31889061) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94958381087367 × 6371000     		do = 290.027338128089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14347514-0.14352308) × cos(-0.31893613) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949569538764686 × 6371000     		du = 290.022979058641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31889061)-sin(-0.31893613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94958381087367-0.949569538764686)×R²
    abs(0.14352308-0.14347514)×1.42721089846365e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42721089846365e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42721089846365e-05×40589641000000     		ar = 84109.5930058032m²