Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68529 / 69521
↖ ↑ ↗
← S 10.879162°
E  8.220520°		 ← 299.94 m → S 10.879162°
E  8.223267°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.881860°
E  8.220520°		 ← 299.93 m →
89 965 m²		 S 10.881860°
E  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522838592529297 y=0.530406951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522838592529297 × 217)
    floor (0.522838592529297 × 131072)
    floor (68529.5)     		tx = 68529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530406951904297 × 217)
    floor (0.530406951904297 × 131072)
    floor (69521.5)     		ty = 69521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68529 / 69521 ti = "17/68529/69521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68529/69521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68529 ÷ 217
    68529 ÷ 131072     		x = 0.522834777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69521 ÷ 217
    69521 ÷ 131072     		y = 0.530403137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522834777832031 × 2 - 1) × π
    0.0456695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14347514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530403137207031 × 2 - 1) × π
    -0.0608062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191028544985924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14347514} λ = 0.14347514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191028544985924))-π/2
    2×atan(0.826109006544664)-π/2
    2×0.690459563050017-π/2
    1.38091912610003-1.57079632675     		φ = -0.18987720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14347514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.220520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18987720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.879162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68529 KachelY 69521 0.14347514 -0.18987720 8.220520 -10.879162
    Oben rechts KachelX + 1 68530 KachelY 69521 0.14352308 -0.18987720 8.223267 -10.879162
    Unten links KachelX 68529 KachelY + 1 69522 0.14347514 -0.18992428 8.220520 -10.881860
    Unten rechts KachelX + 1 68530 KachelY + 1 69522 0.14352308 -0.18992428 8.223267 -10.881860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18987720--0.18992428) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18987720--0.18992428) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14347514-0.14352308) × cos(-0.18987720) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982027419585282 × 6371000     		do = 299.936451327102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14347514-0.14352308) × cos(-0.18992428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982018532697615 × 6371000     		du = 299.93373704286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18987720)-sin(-0.18992428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982027419585282-0.982018532697615)×R²
    abs(0.14352308-0.14347514)×8.88688766720325e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.88688766720325e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.88688766720325e-06×40589641000000     		ar = 89964.535732858m²