Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68528 / 68592
↖ ↑ ↗
← S  8.363692°
E  8.217773°		 ← 302.18 m → S  8.363692°
E  8.220520°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.366410°
E  8.217773°		 ← 302.18 m →
91 311 m²		 S  8.366410°
E  8.220520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522830963134766 y=0.523319244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522830963134766 × 217)
    floor (0.522830963134766 × 131072)
    floor (68528.5)     		tx = 68528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523319244384766 × 217)
    floor (0.523319244384766 × 131072)
    floor (68592.5)     		ty = 68592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68528 / 68592 ti = "17/68528/68592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68528/68592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68528 ÷ 217
    68528 ÷ 131072     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68592 ÷ 217
    68592 ÷ 131072     		y = 0.5233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.146495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146495165238892))-π/2
    2×atan(0.863729908252436)-π/2
    2×0.712411176199824-π/2
    1.42482235239965-1.57079632675     		φ = -0.14597397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14597397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.363692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68528 KachelY 68592 0.14342720 -0.14597397 8.217773 -8.363692
    Oben rechts KachelX + 1 68529 KachelY 68592 0.14347514 -0.14597397 8.220520 -8.363692
    Unten links KachelX 68528 KachelY + 1 68593 0.14342720 -0.14602140 8.217773 -8.366410
    Unten rechts KachelX + 1 68529 KachelY + 1 68593 0.14347514 -0.14602140 8.220520 -8.366410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14597397--0.14602140) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dl = 302.176529999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14597397--0.14602140) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dr = 302.176529999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(-0.14597397) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989364705271577 × 6371000     		do = 302.17744723743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(-0.14602140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989357805175438 × 6371000     		du = 302.175339770461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14597397)-sin(-0.14602140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989364705271577-0.989357805175438)×R²
    abs(0.14347514-0.14342720)×6.90009613890652e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.90009613890652e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.90009613890652e-06×40589641000000     		ar = 91310.6140540268m²