Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68528 / 43568
↖ ↑ ↗
← N 51.536086°
E  8.217773°		 ← 189.98 m → N 51.536086°
E  8.220520°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
N 51.534377°
E  8.217773°		 ← 189.99 m →
36 094 m²		 N 51.534377°
E  8.220520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522830963134766 y=0.332401275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522830963134766 × 217)
    floor (0.522830963134766 × 131072)
    floor (68528.5)     		tx = 68528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332401275634766 × 217)
    floor (0.332401275634766 × 131072)
    floor (43568.5)     		ty = 43568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68528 / 43568 ti = "17/68528/43568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68528/43568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68528 ÷ 217
    68528 ÷ 131072     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43568 ÷ 217
    43568 ÷ 131072     		y = 0.3323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3323974609375 × 2 - 1) × π
    0.335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05307781085339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05307781085339))-π/2
    2×atan(2.86645997673617)-π/2
    2×1.23513535205848-π/2
    2.47027070411696-1.57079632675     		φ = 0.89947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.536086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68528 KachelY 43568 0.14342720 0.89947438 8.217773 51.536086
    Oben rechts KachelX + 1 68529 KachelY 43568 0.14347514 0.89947438 8.220520 51.536086
    Unten links KachelX 68528 KachelY + 1 43569 0.14342720 0.89944456 8.217773 51.534377
    Unten rechts KachelX + 1 68529 KachelY + 1 43569 0.14347514 0.89944456 8.220520 51.534377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89947438-0.89944456) × R
    2.98200000000692e-05 × 6371000     		dl = 189.983220000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89947438-0.89944456) × R
    2.98200000000692e-05 × 6371000     		dr = 189.983220000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(0.89947438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622021614673869 × 6371000     		do = 189.981411957747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(0.89944456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622044963459416 × 6371000     		du = 189.988543277851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89947438)-sin(0.89944456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622021614673869-0.622044963459416)×R²
    abs(0.14347514-0.14342720)×2.3348785547106e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3348785547106e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3348785547106e-05×40589641000000     		ar = 36093.9578022296m²