Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68527 / 72305
↖ ↑ ↗
← S 18.273694°
E  8.215027°		 ← 289.96 m → S 18.273694°
E  8.217773°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
S 18.276302°
E  8.215027°		 ← 289.96 m →
84 091 m²		 S 18.276302°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522823333740234 y=0.551647186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522823333740234 × 217)
    floor (0.522823333740234 × 131072)
    floor (68527.5)     		tx = 68527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551647186279297 × 217)
    floor (0.551647186279297 × 131072)
    floor (72305.5)     		ty = 72305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68527 / 72305 ti = "17/68527/72305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68527/72305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68527 ÷ 217
    68527 ÷ 131072     		x = 0.522819519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72305 ÷ 217
    72305 ÷ 131072     		y = 0.551643371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522819519042969 × 2 - 1) × π
    0.0456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14337927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551643371582031 × 2 - 1) × π
    -0.103286743164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.32448487352816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14337927} λ = 0.14337927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.32448487352816))-π/2
    2×atan(0.722899642488249)-π/2
    2×0.625930098256941-π/2
    1.25186019651388-1.57079632675     		φ = -0.31893613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14337927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31893613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.273694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68527 KachelY 72305 0.14337927 -0.31893613 8.215027 -18.273694
    Oben rechts KachelX + 1 68528 KachelY 72305 0.14342720 -0.31893613 8.217773 -18.273694
    Unten links KachelX 68527 KachelY + 1 72306 0.14337927 -0.31898165 8.215027 -18.276302
    Unten rechts KachelX + 1 68528 KachelY + 1 72306 0.14342720 -0.31898165 8.217773 -18.276302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31893613--0.31898165) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dl = 290.007920000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31893613--0.31898165) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dr = 290.007920000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14337927-0.14342720) × cos(-0.31893613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949569538764686 × 6371000     		do = 289.962481983358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14337927-0.14342720) × cos(-0.31898165) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949555264688126 × 6371000     		du = 289.958123222363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31893613)-sin(-0.31898165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949569538764686-0.949555264688126)×R²
    abs(0.14342720-0.14337927)×1.42740765595173e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.42740765595173e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.42740765595173e-05×40589641000000     		ar = 84090.7842549125m²