Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68527 / 43311
↖ ↑ ↗
← N 51.973038°
E  8.215027°		 ← 188.11 m → N 51.973038°
E  8.217773°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.971346°
E  8.215027°		 ← 188.12 m →
35 391 m²		 N 51.971346°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522823333740234 y=0.330440521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522823333740234 × 217)
    floor (0.522823333740234 × 131072)
    floor (68527.5)     		tx = 68527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330440521240234 × 217)
    floor (0.330440521240234 × 131072)
    floor (43311.5)     		ty = 43311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68527 / 43311 ti = "17/68527/43311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68527/43311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68527 ÷ 217
    68527 ÷ 131072     		x = 0.522819519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43311 ÷ 217
    43311 ÷ 131072     		y = 0.330436706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522819519042969 × 2 - 1) × π
    0.0456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14337927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330436706542969 × 2 - 1) × π
    0.339126586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06539759405575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14337927} λ = 0.14337927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06539759405575))-π/2
    2×atan(2.90199256971058)-π/2
    2×1.2389484795329-π/2
    2.4778969590658-1.57079632675     		φ = 0.90710063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14337927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90710063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.973038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68527 KachelY 43311 0.14337927 0.90710063 8.215027 51.973038
    Oben rechts KachelX + 1 68528 KachelY 43311 0.14342720 0.90710063 8.217773 51.973038
    Unten links KachelX 68527 KachelY + 1 43312 0.14337927 0.90707110 8.215027 51.971346
    Unten rechts KachelX + 1 68528 KachelY + 1 43312 0.14342720 0.90707110 8.217773 51.971346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90710063-0.90707110) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dl = 188.135629999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90710063-0.90707110) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dr = 188.135629999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14337927-0.14342720) × cos(0.90710063) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.61603223006157 × 6371000     		do = 188.112852317034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14337927-0.14342720) × cos(0.90707110) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.616055491192557 × 6371000     		du = 188.119955383213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90710063)-sin(0.90707110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61603223006157-0.616055491192557)×R²
    abs(0.14342720-0.14337927)×2.32611309871622e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32611309871622e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32611309871622e-05×40589641000000     		ar = 35391.3981541091m²