Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68526 / 68474
↖ ↑ ↗
← S  8.042913°
E  8.212280°		 ← 302.42 m → S  8.042913°
E  8.215027°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.045632°
E  8.212280°		 ← 302.42 m →
91 442 m²		 S  8.045632°
E  8.215027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522815704345703 y=0.522418975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522815704345703 × 217)
    floor (0.522815704345703 × 131072)
    floor (68526.5)     		tx = 68526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522418975830078 × 217)
    floor (0.522418975830078 × 131072)
    floor (68474.5)     		ty = 68474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68526 / 68474 ti = "17/68526/68474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68526/68474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68526 ÷ 217
    68526 ÷ 131072     		x = 0.522811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68474 ÷ 217
    68474 ÷ 131072     		y = 0.522415161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522811889648438 × 2 - 1) × π
    0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522415161132812 × 2 - 1) × π
    -0.044830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.140838611083725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14333133} λ = 0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140838611083725))-π/2
    2×atan(0.86862948755759)-π/2
    2×0.715210510560766-π/2
    1.43042102112153-1.57079632675     		φ = -0.14037531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14037531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.042913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68526 KachelY 68474 0.14333133 -0.14037531 8.212280 -8.042913
    Oben rechts KachelX + 1 68527 KachelY 68474 0.14337927 -0.14037531 8.215027 -8.042913
    Unten links KachelX 68526 KachelY + 1 68475 0.14333133 -0.14042277 8.212280 -8.045632
    Unten rechts KachelX + 1 68527 KachelY + 1 68475 0.14337927 -0.14042277 8.215027 -8.045632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14037531--0.14042277) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14037531--0.14042277) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(-0.14037531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990163554547788 × 6371000     		do = 302.421436368765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(-0.14042277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990156913078951 × 6371000     		du = 302.419407893231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14037531)-sin(-0.14042277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990163554547788-0.990156913078951)×R²
    abs(0.14337927-0.14333133)×6.64146883722072e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.64146883722072e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.64146883722072e-06×40589641000000     		ar = 91442.1553931046m²