Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68526 / 43313
↖ ↑ ↗
← N 51.969654°
E  8.212280°		 ← 188.17 m → N 51.969654°
E  8.215027°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.967962°
E  8.212280°		 ← 188.17 m →
35 401 m²		 N 51.967962°
E  8.215027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522815704345703 y=0.330455780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522815704345703 × 217)
    floor (0.522815704345703 × 131072)
    floor (68526.5)     		tx = 68526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330455780029297 × 217)
    floor (0.330455780029297 × 131072)
    floor (43313.5)     		ty = 43313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68526 / 43313 ti = "17/68526/43313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68526/43313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68526 ÷ 217
    68526 ÷ 131072     		x = 0.522811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43313 ÷ 217
    43313 ÷ 131072     		y = 0.330451965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522811889648438 × 2 - 1) × π
    0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330451965332031 × 2 - 1) × π
    0.339096069335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06530172025651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14333133} λ = 0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06530172025651))-π/2
    2×atan(2.90171435799438)-π/2
    2×1.23891894774269-π/2
    2.47783789548539-1.57079632675     		φ = 0.90704157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90704157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.969654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68526 KachelY 43313 0.14333133 0.90704157 8.212280 51.969654
    Oben rechts KachelX + 1 68527 KachelY 43313 0.14337927 0.90704157 8.215027 51.969654
    Unten links KachelX 68526 KachelY + 1 43314 0.14333133 0.90701204 8.212280 51.967962
    Unten rechts KachelX + 1 68527 KachelY + 1 43314 0.14337927 0.90701204 8.215027 51.967962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90704157-0.90701204) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dl = 188.135629999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90704157-0.90701204) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dr = 188.135629999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(0.90704157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616078751786331 × 6371000     		do = 188.166308662602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(0.90701204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616102011842871 × 6371000     		du = 188.173412882583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90704157)-sin(0.90701204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616078751786331-0.616102011842871)×R²
    abs(0.14337927-0.14333133)×2.32600565404084e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32600565404084e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32600565404084e-05×40589641000000     		ar = 35401.4553058667m²