Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68524 / 43710
↖ ↑ ↗
← N 51.292841°
E  8.206787°		 ← 190.96 m → N 51.292841°
E  8.209534°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.291123°
E  8.206787°		 ← 190.96 m →
36 474 m²		 N 51.291123°
E  8.209534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522800445556641 y=0.333484649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522800445556641 × 217)
    floor (0.522800445556641 × 131072)
    floor (68524.5)     		tx = 68524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333484649658203 × 217)
    floor (0.333484649658203 × 131072)
    floor (43710.5)     		ty = 43710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68524 / 43710 ti = "17/68524/43710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68524/43710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68524 ÷ 217
    68524 ÷ 131072     		x = 0.522796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43710 ÷ 217
    43710 ÷ 131072     		y = 0.333480834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522796630859375 × 2 - 1) × π
    0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333480834960938 × 2 - 1) × π
    0.333038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04627077110735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14323546} λ = 0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04627077110735))-π/2
    2×atan(2.84701412915924)-π/2
    2×1.23301264357521-π/2
    2.46602528715042-1.57079632675     		φ = 0.89522896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89522896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.292841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68524 KachelY 43710 0.14323546 0.89522896 8.206787 51.292841
    Oben rechts KachelX + 1 68525 KachelY 43710 0.14328339 0.89522896 8.209534 51.292841
    Unten links KachelX 68524 KachelY + 1 43711 0.14323546 0.89519898 8.206787 51.291123
    Unten rechts KachelX + 1 68525 KachelY + 1 43711 0.14328339 0.89519898 8.209534 51.291123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89522896-0.89519898) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89522896-0.89519898) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14323546-0.14328339) × cos(0.89522896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		do = 190.955141713687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14323546-0.14328339) × cos(0.89519898) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625363558006053 × 6371000     		du = 190.962285560757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89522896)-sin(0.89519898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625340163325745-0.625363558006053)×R²
    abs(0.14328339-0.14323546)×2.33946803080975e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33946803080975e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33946803080975e-05×40589641000000     		ar = 36473.6069807919m²