Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68522 / 43546
↖ ↑ ↗
← N 51.573656°
E  8.201294°		 ← 189.82 m → N 51.573656°
E  8.204041°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.571948°
E  8.201294°		 ← 189.83 m →
36 040 m²		 N 51.571948°
E  8.204041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522785186767578 y=0.332233428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522785186767578 × 217)
    floor (0.522785186767578 × 131072)
    floor (68522.5)     		tx = 68522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332233428955078 × 217)
    floor (0.332233428955078 × 131072)
    floor (43546.5)     		ty = 43546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68522 / 43546 ti = "17/68522/43546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68522/43546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68522 ÷ 217
    68522 ÷ 131072     		x = 0.522781372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43546 ÷ 217
    43546 ÷ 131072     		y = 0.332229614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522781372070312 × 2 - 1) × π
    0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332229614257812 × 2 - 1) × π
    0.335540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05413242264503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14313958} λ = 0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05413242264503))-π/2
    2×atan(2.86948457383545)-π/2
    2×1.23546321231507-π/2
    2.47092642463014-1.57079632675     		φ = 0.90013010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90013010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.573656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68522 KachelY 43546 0.14313958 0.90013010 8.201294 51.573656
    Oben rechts KachelX + 1 68523 KachelY 43546 0.14318752 0.90013010 8.204041 51.573656
    Unten links KachelX 68522 KachelY + 1 43547 0.14313958 0.90010030 8.201294 51.571948
    Unten rechts KachelX + 1 68523 KachelY + 1 43547 0.14318752 0.90010030 8.204041 51.571948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90013010-0.90010030) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90013010-0.90010030) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14313958-0.14318752) × cos(0.90013010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621508052179321 × 6371000     		do = 189.824556752923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14313958-0.14318752) × cos(0.90010030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621531397455034 × 6371000     		du = 189.831687001033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90013010)-sin(0.90010030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621508052179321-0.621531397455034)×R²
    abs(0.14318752-0.14313958)×2.3345275713349e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3345275713349e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3345275713349e-05×40589641000000     		ar = 36039.9699442667m²