Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6852 / 1464
↖ ↑ ↗
← N 81.334844°
W 29.443359°		 ← 368.09 m → N 81.334844°
W 29.421387°		 →
↑
368.18 m
↓
↑
368.18 m
↓
N 81.331533°
W 29.443359°		 ← 368.23 m →
135 551 m²		 N 81.331533°
W 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418243408203125 y=0.089385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418243408203125 × 214)
    floor (0.418243408203125 × 16384)
    floor (6852.5)     		tx = 6852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089385986328125 × 214)
    floor (0.089385986328125 × 16384)
    floor (1464.5)     		ty = 1464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6852 / 1464 ti = "14/6852/1464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6852/1464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6852 ÷ 214
    6852 ÷ 16384     		x = 0.418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1464 ÷ 214
    1464 ÷ 16384     		y = 0.08935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08935546875 × 2 - 1) × π
    0.8212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5801556851499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51388356} λ = -0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5801556851499))-π/2
    2×atan(13.1991929180346)-π/2
    2×1.49517857769734-π/2
    2.99035715539468-1.57079632675     		φ = 1.41956083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41956083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.334844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6852 KachelY 1464 -0.51388356 1.41956083 -29.443359 81.334844
    Oben rechts KachelX + 1 6853 KachelY 1464 -0.51350007 1.41956083 -29.421387 81.334844
    Unten links KachelX 6852 KachelY + 1 1465 -0.51388356 1.41950304 -29.443359 81.331533
    Unten rechts KachelX + 1 6853 KachelY + 1 1465 -0.51350007 1.41950304 -29.421387 81.331533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41956083-1.41950304) × R
    5.77900000000575e-05 × 6371000     		dl = 368.180090000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41956083-1.41950304) × R
    5.77900000000575e-05 × 6371000     		dr = 368.180090000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51388356--0.51350007) × cos(1.41956083) × R
    0.000383490000000042 × 0.150659641605406 × 6371000     		do = 368.093864626467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51388356--0.51350007) × cos(1.41950304) × R
    0.000383490000000042 × 0.150716771720994 × 6371000     		du = 368.233445769827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41956083)-sin(1.41950304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150659641605406-0.150716771720994)×R²
    abs(-0.51350007--0.51388356)×5.71301155885551e-05×R²
    0.000383490000000042×5.71301155885551e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.71301155885551e-05×40589641000000     		ar = 135550.527744961m²