Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68518 / 43670
↖ ↑ ↗
← N 51.361492°
E  8.190307°		 ← 190.71 m → N 51.361492°
E  8.193054°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.359777°
E  8.190307°		 ← 190.72 m →
36 366 m²		 N 51.359777°
E  8.193054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522754669189453 y=0.333179473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522754669189453 × 217)
    floor (0.522754669189453 × 131072)
    floor (68518.5)     		tx = 68518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333179473876953 × 217)
    floor (0.333179473876953 × 131072)
    floor (43670.5)     		ty = 43670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68518 / 43670 ti = "17/68518/43670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68518/43670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68518 ÷ 217
    68518 ÷ 131072     		x = 0.522750854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43670 ÷ 217
    43670 ÷ 131072     		y = 0.333175659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522750854492188 × 2 - 1) × π
    0.045501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14294783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333175659179688 × 2 - 1) × π
    0.333648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04818824709215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14294783} λ = 0.14294783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04818824709215))-π/2
    2×atan(2.85247844755572)-π/2
    2×1.23361173248203-π/2
    2.46722346496405-1.57079632675     		φ = 0.89642714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14294783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.190307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89642714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.361492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68518 KachelY 43670 0.14294783 0.89642714 8.190307 51.361492
    Oben rechts KachelX + 1 68519 KachelY 43670 0.14299577 0.89642714 8.193054 51.361492
    Unten links KachelX 68518 KachelY + 1 43671 0.14294783 0.89639721 8.190307 51.359777
    Unten rechts KachelX + 1 68519 KachelY + 1 43671 0.14299577 0.89639721 8.193054 51.359777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89642714-0.89639721) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89642714-0.89639721) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14294783-0.14299577) × cos(0.89642714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624404712175049 × 6371000     		do = 190.709271275537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14294783-0.14299577) × cos(0.89639721) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624428090247982 × 6371000     		du = 190.716411540762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89642714)-sin(0.89639721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624404712175049-0.624428090247982)×R²
    abs(0.14299577-0.14294783)×2.33780729324007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33780729324007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33780729324007e-05×40589641000000     		ar = 36365.8931750152m²