Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68511 / 43704
↖ ↑ ↗
← N 51.303145°
E  8.171082°		 ← 190.91 m → N 51.303145°
E  8.173828°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.301428°
E  8.171082°		 ← 190.92 m →
36 453 m²		 N 51.301428°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522701263427734 y=0.333438873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522701263427734 × 217)
    floor (0.522701263427734 × 131072)
    floor (68511.5)     		tx = 68511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333438873291016 × 217)
    floor (0.333438873291016 × 131072)
    floor (43704.5)     		ty = 43704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68511 / 43704 ti = "17/68511/43704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68511/43704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68511 ÷ 217
    68511 ÷ 131072     		x = 0.522697448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43704 ÷ 217
    43704 ÷ 131072     		y = 0.33343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522697448730469 × 2 - 1) × π
    0.0453948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14261228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33343505859375 × 2 - 1) × π
    0.3331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04655839250507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14261228} λ = 0.14261228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04655839250507))-π/2
    2×atan(2.84783310911484)-π/2
    2×1.23310256408907-π/2
    2.46620512817814-1.57079632675     		φ = 0.89540880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14261228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.171082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89540880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.303145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68511 KachelY 43704 0.14261228 0.89540880 8.171082 51.303145
    Oben rechts KachelX + 1 68512 KachelY 43704 0.14266021 0.89540880 8.173828 51.303145
    Unten links KachelX 68511 KachelY + 1 43705 0.14261228 0.89537883 8.171082 51.301428
    Unten rechts KachelX + 1 68512 KachelY + 1 43705 0.14266021 0.89537883 8.173828 51.301428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89540880-0.89537883) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89540880-0.89537883) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14261228-0.14266021) × cos(0.89540880) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625199814660046 × 6371000     		do = 190.912284560222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14261228-0.14266021) × cos(0.89537883) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625223204907165 × 6371000     		du = 190.919427053564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89540880)-sin(0.89537883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625199814660046-0.625223204907165)×R²
    abs(0.14266021-0.14261228)×2.33902471190595e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33902471190595e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33902471190595e-05×40589641000000     		ar = 36453.2577756585m²