Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68509 / 43682
↖ ↑ ↗
← N 51.340907°
E  8.165588°		 ← 190.79 m → N 51.340907°
E  8.168335°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 51.339192°
E  8.165588°		 ← 190.80 m →
36 394 m²		 N 51.339192°
E  8.168335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522686004638672 y=0.333271026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522686004638672 × 217)
    floor (0.522686004638672 × 131072)
    floor (68509.5)     		tx = 68509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333271026611328 × 217)
    floor (0.333271026611328 × 131072)
    floor (43682.5)     		ty = 43682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68509 / 43682 ti = "17/68509/43682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68509/43682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68509 ÷ 217
    68509 ÷ 131072     		x = 0.522682189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43682 ÷ 217
    43682 ÷ 131072     		y = 0.333267211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522682189941406 × 2 - 1) × π
    0.0453643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14251640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333267211914062 × 2 - 1) × π
    0.333465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04761300429671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14251640} λ = 0.14251640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04761300429671))-π/2
    2×atan(2.85083805173779)-π/2
    2×1.23343209997596-π/2
    2.46686419995191-1.57079632675     		φ = 0.89606787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14251640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.165588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89606787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.340907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68509 KachelY 43682 0.14251640 0.89606787 8.165588 51.340907
    Oben rechts KachelX + 1 68510 KachelY 43682 0.14256434 0.89606787 8.168335 51.340907
    Unten links KachelX 68509 KachelY + 1 43683 0.14251640 0.89603793 8.165588 51.339192
    Unten rechts KachelX + 1 68510 KachelY + 1 43683 0.14256434 0.89603793 8.168335 51.339192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89606787-0.89603793) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89606787-0.89603793) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14251640-0.14256434) × cos(0.89606787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624685298023924 × 6371000     		do = 190.794969416173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14251640-0.14256434) × cos(0.89603793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624708677189608 × 6371000     		du = 190.802110015153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89606787)-sin(0.89603793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624685298023924-0.624708677189608)×R²
    abs(0.14256434-0.14251640)×2.33791656839566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33791656839566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33791656839566e-05×40589641000000     		ar = 36394.3902486888m²