Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68508 / 43701
↖ ↑ ↗
← N 51.308297°
E  8.162842°		 ← 190.89 m → N 51.308297°
E  8.165588°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.306579°
E  8.162842°		 ← 190.90 m →
36 449 m²		 N 51.306579°
E  8.165588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522678375244141 y=0.333415985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522678375244141 × 217)
    floor (0.522678375244141 × 131072)
    floor (68508.5)     		tx = 68508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333415985107422 × 217)
    floor (0.333415985107422 × 131072)
    floor (43701.5)     		ty = 43701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68508 / 43701 ti = "17/68508/43701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68508/43701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68508 ÷ 217
    68508 ÷ 131072     		x = 0.522674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43701 ÷ 217
    43701 ÷ 131072     		y = 0.333412170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522674560546875 × 2 - 1) × π
    0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333412170410156 × 2 - 1) × π
    0.333175659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04670220320393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14246847} λ = 0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04670220320393))-π/2
    2×atan(2.84824268743466)-π/2
    2×1.23314751677729-π/2
    2.46629503355459-1.57079632675     		φ = 0.89549871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89549871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.308297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68508 KachelY 43701 0.14246847 0.89549871 8.162842 51.308297
    Oben rechts KachelX + 1 68509 KachelY 43701 0.14251640 0.89549871 8.165588 51.308297
    Unten links KachelX 68508 KachelY + 1 43702 0.14246847 0.89546874 8.162842 51.306579
    Unten rechts KachelX + 1 68509 KachelY + 1 43702 0.14251640 0.89546874 8.165588 51.306579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89549871-0.89546874) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89549871-0.89546874) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14246847-0.14251640) × cos(0.89549871) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625129640549443 × 6371000     		do = 190.890856051244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14246847-0.14251640) × cos(0.89546874) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625153032481164 × 6371000     		du = 190.897999059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89549871)-sin(0.89546874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625129640549443-0.625153032481164)×R²
    abs(0.14251640-0.14246847)×2.33919317211839e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33919317211839e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33919317211839e-05×40589641000000     		ar = 36449.1662895571m²