Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68507 / 69515
↖ ↑ ↗
← S 10.862978°
E  8.160095°		 ← 299.95 m → S 10.862978°
E  8.162842°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.865676°
E  8.160095°		 ← 299.95 m →
89 969 m²		 S 10.865676°
E  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522670745849609 y=0.530361175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522670745849609 × 217)
    floor (0.522670745849609 × 131072)
    floor (68507.5)     		tx = 68507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530361175537109 × 217)
    floor (0.530361175537109 × 131072)
    floor (69515.5)     		ty = 69515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68507 / 69515 ti = "17/68507/69515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68507/69515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68507 ÷ 217
    68507 ÷ 131072     		x = 0.522666931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69515 ÷ 217
    69515 ÷ 131072     		y = 0.530357360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522666931152344 × 2 - 1) × π
    0.0453338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14242053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530357360839844 × 2 - 1) × π
    -0.0607147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190740923588203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14242053} λ = 0.14242053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190740923588203))-π/2
    2×atan(0.826346647345447)-π/2
    2×0.69060079293094-π/2
    1.38120158586188-1.57079632675     		φ = -0.18959474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14242053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.160095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18959474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.862978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68507 KachelY 69515 0.14242053 -0.18959474 8.160095 -10.862978
    Oben rechts KachelX + 1 68508 KachelY 69515 0.14246847 -0.18959474 8.162842 -10.862978
    Unten links KachelX 68507 KachelY + 1 69516 0.14242053 -0.18964182 8.160095 -10.865676
    Unten rechts KachelX + 1 68508 KachelY + 1 69516 0.14246847 -0.18964182 8.162842 -10.865676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18959474--0.18964182) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dl = 299.946679999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18959474--0.18964182) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dr = 299.946679999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14242053-0.14246847) × cos(-0.18959474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.982080691430894 × 6371000     		do = 299.952721920143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14242053-0.14246847) × cos(-0.18964182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.982071817602736 × 6371000     		du = 299.950011624611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18959474)-sin(-0.18964182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982080691430894-0.982071817602736)×R²
    abs(0.14246847-0.14242053)×8.87382815839555e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.87382815839555e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.87382815839555e-06×40589641000000     		ar = 89969.4166414373m²