Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68506 / 68578
↖ ↑ ↗
← S  8.325647°
E  8.157349°		 ← 302.21 m → S  8.325647°
E  8.160095°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.328365°
E  8.157349°		 ← 302.20 m →
91 320 m²		 S  8.328365°
E  8.160095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522663116455078 y=0.523212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522663116455078 × 217)
    floor (0.522663116455078 × 131072)
    floor (68506.5)     		tx = 68506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523212432861328 × 217)
    floor (0.523212432861328 × 131072)
    floor (68578.5)     		ty = 68578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68506 / 68578 ti = "17/68506/68578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68506/68578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68506 ÷ 217
    68506 ÷ 131072     		x = 0.522659301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68578 ÷ 217
    68578 ÷ 131072     		y = 0.523208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522659301757812 × 2 - 1) × π
    0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523208618164062 × 2 - 1) × π
    -0.046417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.145824048644211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14237259} λ = 0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145824048644211))-π/2
    2×atan(0.864309766281596)-π/2
    2×0.712743181915769-π/2
    1.42548636383154-1.57079632675     		φ = -0.14530996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14530996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.325647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68506 KachelY 68578 0.14237259 -0.14530996 8.157349 -8.325647
    Oben rechts KachelX + 1 68507 KachelY 68578 0.14242053 -0.14530996 8.160095 -8.325647
    Unten links KachelX 68506 KachelY + 1 68579 0.14237259 -0.14535739 8.157349 -8.328365
    Unten rechts KachelX + 1 68507 KachelY + 1 68579 0.14242053 -0.14535739 8.160095 -8.328365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14530996--0.14535739) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14530996--0.14535739) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14237259-0.14242053) × cos(-0.14530996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98946107146611 × 6371000     		do = 302.206879953706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14237259-0.14242053) × cos(-0.14535739) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989454202530427 × 6371000     		du = 302.204782003942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14530996)-sin(-0.14535739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98946107146611-0.989454202530427)×R²
    abs(0.14242053-0.14237259)×6.86893568224711e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.86893568224711e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.86893568224711e-06×40589641000000     		ar = 91319.5093680861m²