Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68504 / 69513
↖ ↑ ↗
← S 10.857583°
E  8.151856°		 ← 299.90 m → S 10.857583°
E  8.154602°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.860281°
E  8.151856°		 ← 299.89 m →
89 952 m²		 S 10.860281°
E  8.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522647857666016 y=0.530345916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522647857666016 × 217)
    floor (0.522647857666016 × 131072)
    floor (68504.5)     		tx = 68504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530345916748047 × 217)
    floor (0.530345916748047 × 131072)
    floor (69513.5)     		ty = 69513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68504 / 69513 ti = "17/68504/69513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68504/69513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68504 ÷ 217
    68504 ÷ 131072     		x = 0.52264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69513 ÷ 217
    69513 ÷ 131072     		y = 0.530342102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52264404296875 × 2 - 1) × π
    0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530342102050781 × 2 - 1) × π
    -0.0606842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.190645049788963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14227672} λ = 0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190645049788963))-π/2
    2×atan(0.826425876135939)-π/2
    2×0.690647871259701-π/2
    1.3812957425194-1.57079632675     		φ = -0.18950058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18950058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.857583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68504 KachelY 69513 0.14227672 -0.18950058 8.151856 -10.857583
    Oben rechts KachelX + 1 68505 KachelY 69513 0.14232465 -0.18950058 8.154602 -10.857583
    Unten links KachelX 68504 KachelY + 1 69514 0.14227672 -0.18954766 8.151856 -10.860281
    Unten rechts KachelX + 1 68505 KachelY + 1 69514 0.14232465 -0.18954766 8.154602 -10.860281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18950058--0.18954766) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18950058--0.18954766) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14227672-0.14232465) × cos(-0.18950058) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982098432556768 × 6371000     		do = 299.895571025363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14227672-0.14232465) × cos(-0.18954766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982089563082245 × 6371000     		du = 299.892862624617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18950058)-sin(-0.18954766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982098432556768-0.982089563082245)×R²
    abs(0.14232465-0.14227672)×8.86947452316544e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.86947452316544e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.86947452316544e-06×40589641000000     		ar = 89952.2747044749m²