Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68503 / 69514
↖ ↑ ↗
← S 10.860281°
E  8.149109°		 ← 299.96 m → S 10.860281°
E  8.151856°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.862978°
E  8.149109°		 ← 299.95 m →
89 970 m²		 S 10.862978°
E  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522640228271484 y=0.530353546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522640228271484 × 217)
    floor (0.522640228271484 × 131072)
    floor (68503.5)     		tx = 68503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530353546142578 × 217)
    floor (0.530353546142578 × 131072)
    floor (69514.5)     		ty = 69514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68503 / 69514 ti = "17/68503/69514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68503/69514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68503 ÷ 217
    68503 ÷ 131072     		x = 0.522636413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69514 ÷ 217
    69514 ÷ 131072     		y = 0.530349731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522636413574219 × 2 - 1) × π
    0.0452728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14222878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530349731445312 × 2 - 1) × π
    -0.060699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.190692986688583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14222878} λ = 0.14222878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190692986688583))-π/2
    2×atan(0.826386260791197)-π/2
    2×0.690624331989018-π/2
    1.38124866397804-1.57079632675     		φ = -0.18954766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14222878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.149109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18954766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.860281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68503 KachelY 69514 0.14222878 -0.18954766 8.149109 -10.860281
    Oben rechts KachelX + 1 68504 KachelY 69514 0.14227672 -0.18954766 8.151856 -10.860281
    Unten links KachelX 68503 KachelY + 1 69515 0.14222878 -0.18959474 8.149109 -10.862978
    Unten rechts KachelX + 1 68504 KachelY + 1 69515 0.14227672 -0.18959474 8.151856 -10.862978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18954766--0.18959474) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18954766--0.18959474) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14222878-0.14227672) × cos(-0.18954766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982089563082245 × 6371000     		do = 299.955431550648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14222878-0.14227672) × cos(-0.18959474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982080691430894 × 6371000     		du = 299.952721919969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18954766)-sin(-0.18959474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982089563082245-0.982080691430894)×R²
    abs(0.14227672-0.14222878)×8.87165135055046e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.87165135055046e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.87165135055046e-06×40589641000000     		ar = 89970.2294858489m²