Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6850 / 1862
↖ ↑ ↗
← N 79.912854°
W 29.487304°		 ← 427.92 m → N 79.912854°
W 29.465332°		 →
↑
428 m
↓
↑
428 m
↓
N 79.909004°
W 29.487304°		 ← 428.08 m →
183 186 m²		 N 79.909004°
W 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418121337890625 y=0.113677978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418121337890625 × 214)
    floor (0.418121337890625 × 16384)
    floor (6850.5)     		tx = 6850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113677978515625 × 214)
    floor (0.113677978515625 × 16384)
    floor (1862.5)     		ty = 1862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6850 / 1862 ti = "14/6850/1862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6850/1862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6850 ÷ 214
    6850 ÷ 16384     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1862 ÷ 214
    1862 ÷ 16384     		y = 0.1136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1136474609375 × 2 - 1) × π
    0.772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42752459675964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42752459675964))-π/2
    2×atan(11.330799039259)-π/2
    2×1.48276937068456-π/2
    2.96553874136912-1.57079632675     		φ = 1.39474241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39474241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.912854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6850 KachelY 1862 -0.51465055 1.39474241 -29.487304 79.912854
    Oben rechts KachelX + 1 6851 KachelY 1862 -0.51426706 1.39474241 -29.465332 79.912854
    Unten links KachelX 6850 KachelY + 1 1863 -0.51465055 1.39467523 -29.487304 79.909004
    Unten rechts KachelX + 1 6851 KachelY + 1 1863 -0.51426706 1.39467523 -29.465332 79.909004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39474241-1.39467523) × R
    6.71800000000555e-05 × 6371000     		dl = 428.003780000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39474241-1.39467523) × R
    6.71800000000555e-05 × 6371000     		dr = 428.003780000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51426706) × cos(1.39474241) × R
    0.000383490000000042 × 0.175145860544723 × 6371000     		do = 427.918956890191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51426706) × cos(1.39467523) × R
    0.000383490000000042 × 0.175212001714362 × 6371000     		du = 428.080553974082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39474241)-sin(1.39467523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175145860544723-0.175212001714362)×R²
    abs(-0.51426706--0.51465055)×6.61411696392666e-05×R²
    0.000383490000000042×6.61411696392666e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.61411696392666e-05×40589641000000     		ar = 183185.513232776m²