Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68497 / 69486
↖ ↑ ↗
← S 10.784744°
E  8.132629°		 ← 300.03 m → S 10.784744°
E  8.135376°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.787443°
E  8.132629°		 ← 300.03 m →
90 012 m²		 S 10.787443°
E  8.135376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522594451904297 y=0.530139923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522594451904297 × 217)
    floor (0.522594451904297 × 131072)
    floor (68497.5)     		tx = 68497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530139923095703 × 217)
    floor (0.530139923095703 × 131072)
    floor (69486.5)     		ty = 69486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68497 / 69486 ti = "17/68497/69486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68497/69486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68497 ÷ 217
    68497 ÷ 131072     		x = 0.522590637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69486 ÷ 217
    69486 ÷ 131072     		y = 0.530136108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522590637207031 × 2 - 1) × π
    0.0451812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14194116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530136108398438 × 2 - 1) × π
    -0.060272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189350753499222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14194116} λ = 0.14194116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189350753499222))-π/2
    2×atan(0.827496208595415)-π/2
    2×0.691283511749587-π/2
    1.38256702349917-1.57079632675     		φ = -0.18822930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14194116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.132629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18822930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.784744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68497 KachelY 69486 0.14194116 -0.18822930 8.132629 -10.784744
    Oben rechts KachelX + 1 68498 KachelY 69486 0.14198910 -0.18822930 8.135376 -10.784744
    Unten links KachelX 68497 KachelY + 1 69487 0.14194116 -0.18827639 8.132629 -10.787443
    Unten rechts KachelX + 1 68498 KachelY + 1 69487 0.14198910 -0.18827639 8.135376 -10.787443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18822930--0.18827639) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18822930--0.18827639) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14194116-0.14198910) × cos(-0.18822930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982337107910778 × 6371000     		do = 300.031038113086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14194116-0.14198910) × cos(-0.18827639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982328295351901 × 6371000     		du = 300.02834653077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18822930)-sin(-0.18827639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982337107910778-0.982328295351901)×R²
    abs(0.14198910-0.14194116)×8.81255887708043e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.81255887708043e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.81255887708043e-06×40589641000000     		ar = 90012.0250217218m²