Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68497 / 68403
↖ ↑ ↗
← S  7.849778°
E  8.132629°		 ← 302.56 m → S  7.849778°
E  8.135376°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.852499°
E  8.132629°		 ← 302.56 m →
91 543 m²		 S  7.852499°
E  8.135376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522594451904297 y=0.521877288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522594451904297 × 217)
    floor (0.522594451904297 × 131072)
    floor (68497.5)     		tx = 68497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521877288818359 × 217)
    floor (0.521877288818359 × 131072)
    floor (68403.5)     		ty = 68403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68497 / 68403 ti = "17/68497/68403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68497/68403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68497 ÷ 217
    68497 ÷ 131072     		x = 0.522590637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68403 ÷ 217
    68403 ÷ 131072     		y = 0.521873474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522590637207031 × 2 - 1) × π
    0.0451812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14194116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521873474121094 × 2 - 1) × π
    -0.0437469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137435091210701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14194116} λ = 0.14194116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137435091210701))-π/2
    2×atan(0.871590922072641)-π/2
    2×0.716895929307415-π/2
    1.43379185861483-1.57079632675     		φ = -0.13700447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14194116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.132629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13700447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.849778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68497 KachelY 68403 0.14194116 -0.13700447 8.132629 -7.849778
    Oben rechts KachelX + 1 68498 KachelY 68403 0.14198910 -0.13700447 8.135376 -7.849778
    Unten links KachelX 68497 KachelY + 1 68404 0.14194116 -0.13705196 8.132629 -7.852499
    Unten rechts KachelX + 1 68498 KachelY + 1 68404 0.14198910 -0.13705196 8.135376 -7.852499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13700447--0.13705196) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13700447--0.13705196) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14194116-0.14198910) × cos(-0.13700447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990629558473949 × 6371000     		do = 302.563765962756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14194116-0.14198910) × cos(-0.13705196) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990623071349745 × 6371000     		du = 302.561784628045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13700447)-sin(-0.13705196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990629558473949-0.990623071349745)×R²
    abs(0.14198910-0.14194116)×6.48712420436848e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.48712420436848e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.48712420436848e-06×40589641000000     		ar = 91543.0272096505m²