Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68493 / 48141
↖ ↑ ↗
← N 43.042798°
E  8.121643°		 ← 223.22 m → N 43.042798°
E  8.124390°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
N 43.040791°
E  8.121643°		 ← 223.23 m →
49 832 m²		 N 43.040791°
E  8.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522563934326172 y=0.367290496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522563934326172 × 217)
    floor (0.522563934326172 × 131072)
    floor (68493.5)     		tx = 68493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367290496826172 × 217)
    floor (0.367290496826172 × 131072)
    floor (48141.5)     		ty = 48141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68493 / 48141 ti = "17/68493/48141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68493/48141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68493 ÷ 217
    68493 ÷ 131072     		x = 0.522560119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48141 ÷ 217
    48141 ÷ 131072     		y = 0.367286682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522560119628906 × 2 - 1) × π
    0.0451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14174941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367286682128906 × 2 - 1) × π
    0.265426635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.833862368890877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14174941} λ = 0.14174941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833862368890877))-π/2
    2×atan(2.30219351100993)-π/2
    2×1.16101743664493-π/2
    2.32203487328986-1.57079632675     		φ = 0.75123855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14174941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75123855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.042798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68493 KachelY 48141 0.14174941 0.75123855 8.121643 43.042798
    Oben rechts KachelX + 1 68494 KachelY 48141 0.14179735 0.75123855 8.124390 43.042798
    Unten links KachelX 68493 KachelY + 1 48142 0.14174941 0.75120351 8.121643 43.040791
    Unten rechts KachelX + 1 68494 KachelY + 1 48142 0.14179735 0.75120351 8.124390 43.040791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75123855-0.75120351) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75123855-0.75120351) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14174941-0.14179735) × cos(0.75123855) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730844064195917 × 6371000     		do = 223.218589131628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14174941-0.14179735) × cos(0.75120351) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		du = 223.225893666005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75123855)-sin(0.75120351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730844064195917-0.730867980105482)×R²
    abs(0.14179735-0.14174941)×2.39159095658525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39159095658525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39159095658525e-05×40589641000000     		ar = 49832.0974594813m²