Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68493 / 43621
↖ ↑ ↗
← N 51.445448°
E  8.121643°		 ← 190.36 m → N 51.445448°
E  8.124390°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.443736°
E  8.121643°		 ← 190.37 m →
36 239 m²		 N 51.443736°
E  8.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522563934326172 y=0.332805633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522563934326172 × 217)
    floor (0.522563934326172 × 131072)
    floor (68493.5)     		tx = 68493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332805633544922 × 217)
    floor (0.332805633544922 × 131072)
    floor (43621.5)     		ty = 43621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68493 / 43621 ti = "17/68493/43621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68493/43621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68493 ÷ 217
    68493 ÷ 131072     		x = 0.522560119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43621 ÷ 217
    43621 ÷ 131072     		y = 0.332801818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522560119628906 × 2 - 1) × π
    0.0451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14174941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332801818847656 × 2 - 1) × π
    0.334396362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05053715517353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14174941} λ = 0.14174941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05053715517353))-π/2
    2×atan(2.85918653248636)-π/2
    2×1.23434439453272-π/2
    2.46868878906545-1.57079632675     		φ = 0.89789246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14174941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89789246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.445448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68493 KachelY 43621 0.14174941 0.89789246 8.121643 51.445448
    Oben rechts KachelX + 1 68494 KachelY 43621 0.14179735 0.89789246 8.124390 51.445448
    Unten links KachelX 68493 KachelY + 1 43622 0.14174941 0.89786258 8.121643 51.443736
    Unten rechts KachelX + 1 68494 KachelY + 1 43622 0.14179735 0.89786258 8.124390 51.443736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89789246-0.89786258) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dl = 190.36548000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89789246-0.89786258) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dr = 190.36548000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14174941-0.14179735) × cos(0.89789246) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.623259479333935 × 6371000     		do = 190.359487687567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14174941-0.14179735) × cos(0.89786258) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.623282845666983 × 6371000     		du = 190.36662436713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89789246)-sin(0.89786258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623259479333935-0.623282845666983)×R²
    abs(0.14179735-0.14174941)×2.33663330485578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33663330485578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33663330485578e-05×40589641000000     		ar = 36238.5545376728m²