Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68492 / 48140
↖ ↑ ↗
← N 43.044805°
E  8.118897°		 ← 223.16 m → N 43.044805°
E  8.121643°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
N 43.042798°
E  8.118897°		 ← 223.17 m →
49 806 m²		 N 43.042798°
E  8.121643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522556304931641 y=0.367282867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522556304931641 × 217)
    floor (0.522556304931641 × 131072)
    floor (68492.5)     		tx = 68492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367282867431641 × 217)
    floor (0.367282867431641 × 131072)
    floor (48140.5)     		ty = 48140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68492 / 48140 ti = "17/68492/48140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68492/48140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68492 ÷ 217
    68492 ÷ 131072     		x = 0.522552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48140 ÷ 217
    48140 ÷ 131072     		y = 0.367279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522552490234375 × 2 - 1) × π
    0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367279052734375 × 2 - 1) × π
    0.26544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.833910305790497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14170148} λ = 0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833910305790497))-π/2
    2×atan(2.30230387367437)-π/2
    2×1.16103495355768-π/2
    2.32206990711537-1.57079632675     		φ = 0.75127358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75127358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.044805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68492 KachelY 48140 0.14170148 0.75127358 8.118897 43.044805
    Oben rechts KachelX + 1 68493 KachelY 48140 0.14174941 0.75127358 8.121643 43.044805
    Unten links KachelX 68492 KachelY + 1 48141 0.14170148 0.75123855 8.118897 43.042798
    Unten rechts KachelX + 1 68493 KachelY + 1 48141 0.14174941 0.75123855 8.121643 43.042798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75127358-0.75123855) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75127358-0.75123855) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14170148-0.14174941) × cos(0.75127358) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.73082015421472 × 6371000     		do = 223.164725855927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14170148-0.14174941) × cos(0.75123855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.730844064195917 × 6371000     		du = 223.172027056323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75127358)-sin(0.75123855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73082015421472-0.730844064195917)×R²
    abs(0.14174941-0.14170148)×2.39099811967236e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39099811967236e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39099811967236e-05×40589641000000     		ar = 49805.854601044m²