Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6849 / 1861
↖ ↑ ↗
← N 79.916702°
W 29.509277°		 ← 427.77 m → N 79.916702°
W 29.487304°		 →
↑
427.88 m
↓
↑
427.88 m
↓
N 79.912854°
W 29.509277°		 ← 427.93 m →
183 067 m²		 N 79.912854°
W 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418060302734375 y=0.113616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418060302734375 × 214)
    floor (0.418060302734375 × 16384)
    floor (6849.5)     		tx = 6849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113616943359375 × 214)
    floor (0.113616943359375 × 16384)
    floor (1861.5)     		ty = 1861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6849 / 1861 ti = "14/6849/1861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6849/1861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6849 ÷ 214
    6849 ÷ 16384     		x = 0.41802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1861 ÷ 214
    1861 ÷ 16384     		y = 0.11358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51503405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11358642578125 × 2 - 1) × π
    0.7728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4279080919566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51503405} λ = -0.51503405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4279080919566))-π/2
    2×atan(11.335145179577)-π/2
    2×1.48280294814254-π/2
    2.96560589628508-1.57079632675     		φ = 1.39480957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51503405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.509277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39480957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.916702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6849 KachelY 1861 -0.51503405 1.39480957 -29.509277 79.916702
    Oben rechts KachelX + 1 6850 KachelY 1861 -0.51465055 1.39480957 -29.487304 79.916702
    Unten links KachelX 6849 KachelY + 1 1862 -0.51503405 1.39474241 -29.509277 79.912854
    Unten rechts KachelX + 1 6850 KachelY + 1 1862 -0.51465055 1.39474241 -29.487304 79.912854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39480957-1.39474241) × R
    6.7159999999955e-05 × 6371000     		dl = 427.876359999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39480957-1.39474241) × R
    6.7159999999955e-05 × 6371000     		dr = 427.876359999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51503405--0.51465055) × cos(1.39480957) × R
    0.000383499999999981 × 0.175079738275709 × 6371000     		do = 427.768560314646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51503405--0.51465055) × cos(1.39474241) × R
    0.000383499999999981 × 0.175145860544723 × 6371000     		du = 427.930115432898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39480957)-sin(1.39474241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175079738275709-0.175145860544723)×R²
    abs(-0.51465055--0.51503405)×6.61222690139518e-05×R²
    0.000383499999999981×6.61222690139518e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.61222690139518e-05×40589641000000     		ar = 183066.617386593m²