Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68489 / 48253
↖ ↑ ↗
← N 42.817566°
E  8.110656°		 ← 224.04 m → N 42.817566°
E  8.113403°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 42.815551°
E  8.110656°		 ← 224.04 m →
50 200 m²		 N 42.815551°
E  8.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522533416748047 y=0.368144989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522533416748047 × 217)
    floor (0.522533416748047 × 131072)
    floor (68489.5)     		tx = 68489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368144989013672 × 217)
    floor (0.368144989013672 × 131072)
    floor (48253.5)     		ty = 48253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68489 / 48253 ti = "17/68489/48253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68489/48253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68489 ÷ 217
    68489 ÷ 131072     		x = 0.522529602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48253 ÷ 217
    48253 ÷ 131072     		y = 0.368141174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522529602050781 × 2 - 1) × π
    0.0450592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14155766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368141174316406 × 2 - 1) × π
    0.263717651367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.828493436133431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14155766} λ = 0.14155766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.828493436133431))-π/2
    2×atan(2.28986631042161)-π/2
    2×1.15905191620842-π/2
    2.31810383241684-1.57079632675     		φ = 0.74730751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14155766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.110656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74730751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.817566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68489 KachelY 48253 0.14155766 0.74730751 8.110656 42.817566
    Oben rechts KachelX + 1 68490 KachelY 48253 0.14160560 0.74730751 8.113403 42.817566
    Unten links KachelX 68489 KachelY + 1 48254 0.14155766 0.74727234 8.110656 42.815551
    Unten rechts KachelX + 1 68490 KachelY + 1 48254 0.14160560 0.74727234 8.113403 42.815551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74730751-0.74727234) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dl = 224.06806999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74730751-0.74727234) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dr = 224.06806999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14155766-0.14160560) × cos(0.74730751) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733521520012785 × 6371000     		do = 224.036353055812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14155766-0.14160560) × cos(0.74727234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733545423420315 × 6371000     		du = 224.043653771746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74730751)-sin(0.74727234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733521520012785-0.733545423420315)×R²
    abs(0.14160560-0.14155766)×2.39034075301126e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39034075301126e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39034075301126e-05×40589641000000     		ar = 50200.2111727283m²