Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68484 / 69505
↖ ↑ ↗
← S 10.836004°
E  8.096924°		 ← 299.98 m → S 10.836004°
E  8.099671°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.838701°
E  8.096924°		 ← 299.98 m →
89 978 m²		 S 10.838701°
E  8.099671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522495269775391 y=0.530284881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522495269775391 × 217)
    floor (0.522495269775391 × 131072)
    floor (68484.5)     		tx = 68484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530284881591797 × 217)
    floor (0.530284881591797 × 131072)
    floor (69505.5)     		ty = 69505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68484 / 69505 ti = "17/68484/69505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68484/69505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68484 ÷ 217
    68484 ÷ 131072     		x = 0.522491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69505 ÷ 217
    69505 ÷ 131072     		y = 0.530281066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522491455078125 × 2 - 1) × π
    0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530281066894531 × 2 - 1) × π
    -0.0605621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.190261554592003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14131798} λ = 0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190261554592003))-π/2
    2×atan(0.826742867268485)-π/2
    2×0.690836193072959-π/2
    1.38167238614592-1.57079632675     		φ = -0.18912394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18912394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.836004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68484 KachelY 69505 0.14131798 -0.18912394 8.096924 -10.836004
    Oben rechts KachelX + 1 68485 KachelY 69505 0.14136592 -0.18912394 8.099671 -10.836004
    Unten links KachelX 68484 KachelY + 1 69506 0.14131798 -0.18917102 8.096924 -10.838701
    Unten rechts KachelX + 1 68485 KachelY + 1 69506 0.14136592 -0.18917102 8.099671 -10.838701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18912394--0.18917102) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18912394--0.18917102) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14131798-0.14136592) × cos(-0.18912394) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982169309984807 × 6371000     		do = 299.979788307376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14131798-0.14136592) × cos(-0.18917102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982160457925611 × 6371000     		du = 299.977084660646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18912394)-sin(-0.18917102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982169309984807-0.982160457925611)×R²
    abs(0.14136592-0.14131798)×8.85205919631815e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.85205919631815e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.85205919631815e-06×40589641000000     		ar = 89977.536111618m²