Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68480 / 69502
↖ ↑ ↗
← S 10.827911°
E  8.085937°		 ← 299.99 m → S 10.827911°
E  8.088684°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.830609°
E  8.085937°		 ← 299.99 m →
89 999 m²		 S 10.830609°
E  8.088684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522464752197266 y=0.530261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522464752197266 × 217)
    floor (0.522464752197266 × 131072)
    floor (68480.5)     		tx = 68480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530261993408203 × 217)
    floor (0.530261993408203 × 131072)
    floor (69502.5)     		ty = 69502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68480 / 69502 ti = "17/68480/69502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68480/69502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68480 ÷ 217
    68480 ÷ 131072     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69502 ÷ 217
    69502 ÷ 131072     		y = 0.530258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.060516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190117743893143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190117743893143))-π/2
    2×atan(0.826861770287562)-π/2
    2×0.69090681725485-π/2
    1.3818136345097-1.57079632675     		φ = -0.18898269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18898269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.827911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68480 KachelY 69502 0.14112623 -0.18898269 8.085937 -10.827911
    Oben rechts KachelX + 1 68481 KachelY 69502 0.14117417 -0.18898269 8.088684 -10.827911
    Unten links KachelX 68480 KachelY + 1 69503 0.14112623 -0.18902978 8.085937 -10.830609
    Unten rechts KachelX + 1 68481 KachelY + 1 69503 0.14117417 -0.18902978 8.088684 -10.830609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18898269--0.18902978) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18898269--0.18902978) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14117417) × cos(-0.18898269) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98219585497889 × 6371000     		do = 299.987895831837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14117417) × cos(-0.18902978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982187007572167 × 6371000     		du = 299.985193606092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18898269)-sin(-0.18902978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98219585497889-0.982187007572167)×R²
    abs(0.14117417-0.14112623)×8.84740672291162e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.84740672291162e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.84740672291162e-06×40589641000000     		ar = 89999.0802924686m²