Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6848 / 1873
↖ ↑ ↗
← N 79.870433°
W 29.531250°		 ← 429.70 m → N 79.870433°
W 29.509277°		 →
↑
429.79 m
↓
↑
429.79 m
↓
N 79.866568°
W 29.531250°		 ← 429.86 m →
184 715 m²		 N 79.866568°
W 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417999267578125 y=0.114349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417999267578125 × 214)
    floor (0.417999267578125 × 16384)
    floor (6848.5)     		tx = 6848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114349365234375 × 214)
    floor (0.114349365234375 × 16384)
    floor (1873.5)     		ty = 1873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6848 / 1873 ti = "14/6848/1873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6848/1873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6848 ÷ 214
    6848 ÷ 16384     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1873 ÷ 214
    1873 ÷ 16384     		y = 0.11431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11431884765625 × 2 - 1) × π
    0.7713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42330614959308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42330614959308))-π/2
    2×atan(11.2831013380061)-π/2
    2×1.48239918073638-π/2
    2.96479836147277-1.57079632675     		φ = 1.39400203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39400203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.870433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6848 KachelY 1873 -0.51541754 1.39400203 -29.531250 79.870433
    Oben rechts KachelX + 1 6849 KachelY 1873 -0.51503405 1.39400203 -29.509277 79.870433
    Unten links KachelX 6848 KachelY + 1 1874 -0.51541754 1.39393457 -29.531250 79.866568
    Unten rechts KachelX + 1 6849 KachelY + 1 1874 -0.51503405 1.39393457 -29.509277 79.866568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39400203-1.39393457) × R
    6.74599999999081e-05 × 6371000     		dl = 429.787659999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39400203-1.39393457) × R
    6.74599999999081e-05 × 6371000     		dr = 429.787659999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.51503405) × cos(1.39400203) × R
    0.000383489999999931 × 0.175874748047533 × 6371000     		do = 429.699785617178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.51503405) × cos(1.39393457) × R
    0.000383489999999931 × 0.175941156118066 × 6371000     		du = 429.86203479728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39400203)-sin(1.39393457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175874748047533-0.175941156118066)×R²
    abs(-0.51503405--0.51541754)×6.64080705334025e-05×R²
    0.000383489999999931×6.64080705334025e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.64080705334025e-05×40589641000000     		ar = 184714.531779812m²