Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68479 / 69501
↖ ↑ ↗
← S 10.825213°
E  8.083191°		 ← 299.93 m → S 10.825213°
E  8.085937°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.827911°
E  8.083191°		 ← 299.93 m →
89 962 m²		 S 10.827911°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522457122802734 y=0.530254364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522457122802734 × 217)
    floor (0.522457122802734 × 131072)
    floor (68479.5)     		tx = 68479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530254364013672 × 217)
    floor (0.530254364013672 × 131072)
    floor (69501.5)     		ty = 69501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68479 / 69501 ti = "17/68479/69501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68479/69501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68479 ÷ 217
    68479 ÷ 131072     		x = 0.522453308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69501 ÷ 217
    69501 ÷ 131072     		y = 0.530250549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522453308105469 × 2 - 1) × π
    0.0449066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14107830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530250549316406 × 2 - 1) × π
    -0.0605010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.190069806993523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14107830} λ = 0.14107830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190069806993523))-π/2
    2×atan(0.826901408427301)-π/2
    2×0.690930359072886-π/2
    1.38186071814577-1.57079632675     		φ = -0.18893561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14107830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.083191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18893561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.825213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68479 KachelY 69501 0.14107830 -0.18893561 8.083191 -10.825213
    Oben rechts KachelX + 1 68480 KachelY 69501 0.14112623 -0.18893561 8.085937 -10.825213
    Unten links KachelX 68479 KachelY + 1 69502 0.14107830 -0.18898269 8.083191 -10.827911
    Unten rechts KachelX + 1 68480 KachelY + 1 69502 0.14112623 -0.18898269 8.085937 -10.827911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18893561--0.18898269) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18893561--0.18898269) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14107830-0.14112623) × cos(-0.18893561) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98220469832949 × 6371000     		do = 299.928020557441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14107830-0.14112623) × cos(-0.18898269) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98219585497889 × 6371000     		du = 299.925320133949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18893561)-sin(-0.18898269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98220469832949-0.98219585497889)×R²
    abs(0.14112623-0.14107830)×8.84335059936348e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.84335059936348e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.84335059936348e-06×40589641000000     		ar = 89962.009030302m²