Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68478 / 69452
↖ ↑ ↗
← S 10.692996°
E  8.080444°		 ← 300.12 m → S 10.692996°
E  8.083191°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.695695°
E  8.080444°		 ← 300.12 m →
90 078 m²		 S 10.695695°
E  8.083191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522449493408203 y=0.529880523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522449493408203 × 217)
    floor (0.522449493408203 × 131072)
    floor (68478.5)     		tx = 68478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529880523681641 × 217)
    floor (0.529880523681641 × 131072)
    floor (69452.5)     		ty = 69452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68478 / 69452 ti = "17/68478/69452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68478/69452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68478 ÷ 217
    68478 ÷ 131072     		x = 0.522445678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69452 ÷ 217
    69452 ÷ 131072     		y = 0.529876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522445678710938 × 2 - 1) × π
    0.044891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14103036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.05975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.18772089891214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14103036} λ = 0.14103036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.18772089891214))-π/2
    2×atan(0.828846006775362)-π/2
    2×0.692084166812574-π/2
    1.38416833362515-1.57079632675     		φ = -0.18662799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14103036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.080444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18662799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.692996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68478 KachelY 69452 0.14103036 -0.18662799 8.080444 -10.692996
    Oben rechts KachelX + 1 68479 KachelY 69452 0.14107830 -0.18662799 8.083191 -10.692996
    Unten links KachelX 68478 KachelY + 1 69453 0.14103036 -0.18667510 8.080444 -10.695695
    Unten rechts KachelX + 1 68479 KachelY + 1 69453 0.14107830 -0.18667510 8.083191 -10.695695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18662799--0.18667510) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dl = 300.137810000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18662799--0.18667510) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dr = 300.137810000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14103036-0.14107830) × cos(-0.18662799) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982635485082428 × 6371000     		do = 300.122170181536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14103036-0.14107830) × cos(-0.18667510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982626742896435 × 6371000     		du = 300.11950009291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18662799)-sin(-0.18667510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982635485082428-0.982626742896435)×R²
    abs(0.14107830-0.14103036)×8.74218599278276e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.74218599278276e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.74218599278276e-06×40589641000000     		ar = 90077.6102101243m²