Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68476 / 48220
↖ ↑ ↗
← N 42.884015°
E  8.074951°		 ← 223.80 m → N 42.884015°
E  8.077698°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
N 42.882002°
E  8.074951°		 ← 223.80 m →
50 075 m²		 N 42.882002°
E  8.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522434234619141 y=0.367893218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522434234619141 × 217)
    floor (0.522434234619141 × 131072)
    floor (68476.5)     		tx = 68476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367893218994141 × 217)
    floor (0.367893218994141 × 131072)
    floor (48220.5)     		ty = 48220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68476 / 48220 ti = "17/68476/48220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68476/48220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68476 ÷ 217
    68476 ÷ 131072     		x = 0.522430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48220 ÷ 217
    48220 ÷ 131072     		y = 0.367889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367889404296875 × 2 - 1) × π
    0.26422119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.830075353820892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14093448} λ = 0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830075353820892))-π/2
    2×atan(2.29349155710491)-π/2
    2×1.15963178962514-π/2
    2.31926357925029-1.57079632675     		φ = 0.74846725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74846725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.884015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68476 KachelY 48220 0.14093448 0.74846725 8.074951 42.884015
    Oben rechts KachelX + 1 68477 KachelY 48220 0.14098242 0.74846725 8.077698 42.884015
    Unten links KachelX 68476 KachelY + 1 48221 0.14093448 0.74843213 8.074951 42.882002
    Unten rechts KachelX + 1 68477 KachelY + 1 48221 0.14098242 0.74843213 8.077698 42.882002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74846725-0.74843213) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dl = 223.749520000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74846725-0.74843213) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dr = 223.749520000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14093448-0.14098242) × cos(0.74846725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732732790787743 × 6371000     		do = 223.795454848594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14093448-0.14098242) × cos(0.74843213) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73275669007406 × 6371000     		du = 223.802754305803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74846725)-sin(0.74843213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732732790787743-0.73275669007406)×R²
    abs(0.14098242-0.14093448)×2.38992863170751e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38992863170751e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38992863170751e-05×40589641000000     		ar = 50074.9422307733m²