Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68475 / 48223
↖ ↑ ↗
← N 42.877977°
E  8.072205°		 ← 223.77 m → N 42.877977°
E  8.074951°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
N 42.875964°
E  8.072205°		 ← 223.78 m →
50 084 m²		 N 42.875964°
E  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522426605224609 y=0.367916107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522426605224609 × 217)
    floor (0.522426605224609 × 131072)
    floor (68475.5)     		tx = 68475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367916107177734 × 217)
    floor (0.367916107177734 × 131072)
    floor (48223.5)     		ty = 48223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68475 / 48223 ti = "17/68475/48223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68475/48223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68475 ÷ 217
    68475 ÷ 131072     		x = 0.522422790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48223 ÷ 217
    48223 ÷ 131072     		y = 0.367912292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522422790527344 × 2 - 1) × π
    0.0448455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14088655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367912292480469 × 2 - 1) × π
    0.264175415039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.829931543122032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14088655} λ = 0.14088655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829931543122032))-π/2
    2×atan(2.29316175219656)-π/2
    2×1.15957909963977-π/2
    2.31915819927955-1.57079632675     		φ = 0.74836187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14088655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.072205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74836187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.877977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68475 KachelY 48223 0.14088655 0.74836187 8.072205 42.877977
    Oben rechts KachelX + 1 68476 KachelY 48223 0.14093448 0.74836187 8.074951 42.877977
    Unten links KachelX 68475 KachelY + 1 48224 0.14088655 0.74832674 8.072205 42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 68476 KachelY + 1 48224 0.14093448 0.74832674 8.074951 42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74836187-0.74832674) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74836187-0.74832674) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14088655-0.14093448) × cos(0.74836187) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732804499544071 × 6371000     		do = 223.770669573919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14088655-0.14093448) × cos(0.74832674) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 223.777968758093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74836187)-sin(0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732804499544071-0.732828402922542)×R²
    abs(0.14093448-0.14088655)×2.39033784710241e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39033784710241e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39033784710241e-05×40589641000000     		ar = 50083.6531686675m²