Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68475 / 43333
↖ ↑ ↗
← N 51.935799°
E  8.072205°		 ← 188.27 m → N 51.935799°
E  8.074951°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
N 51.934105°
E  8.072205°		 ← 188.28 m →
35 457 m²		 N 51.934105°
E  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522426605224609 y=0.330608367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522426605224609 × 217)
    floor (0.522426605224609 × 131072)
    floor (68475.5)     		tx = 68475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330608367919922 × 217)
    floor (0.330608367919922 × 131072)
    floor (43333.5)     		ty = 43333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68475 / 43333 ti = "17/68475/43333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68475/43333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68475 ÷ 217
    68475 ÷ 131072     		x = 0.522422790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43333 ÷ 217
    43333 ÷ 131072     		y = 0.330604553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522422790527344 × 2 - 1) × π
    0.0448455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14088655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330604553222656 × 2 - 1) × π
    0.338790893554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.06434298226411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14088655} λ = 0.14088655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06434298226411))-π/2
    2×atan(2.89893370736696)-π/2
    2×1.23862350716473-π/2
    2.47724701432946-1.57079632675     		φ = 0.90645069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14088655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.072205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90645069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.935799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68475 KachelY 43333 0.14088655 0.90645069 8.072205 51.935799
    Oben rechts KachelX + 1 68476 KachelY 43333 0.14093448 0.90645069 8.074951 51.935799
    Unten links KachelX 68475 KachelY + 1 43334 0.14088655 0.90642113 8.072205 51.934105
    Unten rechts KachelX + 1 68476 KachelY + 1 43334 0.14093448 0.90642113 8.074951 51.934105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90645069-0.90642113) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90645069-0.90642113) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14088655-0.14093448) × cos(0.90645069) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.616544071265526 × 6371000     		do = 188.269149186112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14088655-0.14093448) × cos(0.90642113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.616567344187105 × 6371000     		du = 188.276255852689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90645069)-sin(0.90642113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616544071265526-0.616567344187105)×R²
    abs(0.14093448-0.14088655)×2.32729215781102e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32729215781102e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32729215781102e-05×40589641000000     		ar = 35456.7880644578m²