Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68473 / 69499
↖ ↑ ↗
← S 10.819818°
E  8.066711°		 ← 300 m → S 10.819818°
E  8.069458°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.822515°
E  8.066711°		 ← 299.99 m →
89 982 m²		 S 10.822515°
E  8.069458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522411346435547 y=0.530239105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522411346435547 × 217)
    floor (0.522411346435547 × 131072)
    floor (68473.5)     		tx = 68473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530239105224609 × 217)
    floor (0.530239105224609 × 131072)
    floor (69499.5)     		ty = 69499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68473 / 69499 ti = "17/68473/69499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68473/69499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68473 ÷ 217
    68473 ÷ 131072     		x = 0.522407531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69499 ÷ 217
    69499 ÷ 131072     		y = 0.530235290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522407531738281 × 2 - 1) × π
    0.0448150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14079067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530235290527344 × 2 - 1) × π
    -0.0604705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189973933194283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14079067} λ = 0.14079067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189973933194283))-π/2
    2×atan(0.826980690407396)-π/2
    2×0.690977443344767-π/2
    1.38195488668953-1.57079632675     		φ = -0.18884144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14079067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.066711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18884144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68473 KachelY 69499 0.14079067 -0.18884144 8.066711 -10.819818
    Oben rechts KachelX + 1 68474 KachelY 69499 0.14083861 -0.18884144 8.069458 -10.819818
    Unten links KachelX 68473 KachelY + 1 69500 0.14079067 -0.18888852 8.066711 -10.822515
    Unten rechts KachelX + 1 68474 KachelY + 1 69500 0.14083861 -0.18888852 8.069458 -10.822515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18884144--0.18888852) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18884144--0.18888852) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14079067-0.14083861) × cos(-0.18884144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982222380376632 × 6371000     		do = 299.995997371071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14079067-0.14083861) × cos(-0.18888852) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98221354138068 × 6371000     		du = 299.993297714192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18884144)-sin(-0.18888852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982222380376632-0.98221354138068)×R²
    abs(0.14083861-0.14079067)×8.83899595205406e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.83899595205406e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.83899595205406e-06×40589641000000     		ar = 89982.3985647887m²