Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68472 / 43719
↖ ↑ ↗
← N 51.277380°
E  8.063965°		 ← 191.02 m → N 51.277380°
E  8.066711°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.275663°
E  8.063965°		 ← 191.03 m →
36 486 m²		 N 51.275663°
E  8.066711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522403717041016 y=0.333553314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522403717041016 × 217)
    floor (0.522403717041016 × 131072)
    floor (68472.5)     		tx = 68472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333553314208984 × 217)
    floor (0.333553314208984 × 131072)
    floor (43719.5)     		ty = 43719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68472 / 43719 ti = "17/68472/43719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68472/43719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68472 ÷ 217
    68472 ÷ 131072     		x = 0.52239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43719 ÷ 217
    43719 ÷ 131072     		y = 0.333549499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333549499511719 × 2 - 1) × π
    0.332901000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04583933901077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14074274} λ = 0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04583933901077))-π/2
    2×atan(2.84578610080898)-π/2
    2×1.23287772495785-π/2
    2.4657554499157-1.57079632675     		φ = 0.89495912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89495912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.277380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68472 KachelY 43719 0.14074274 0.89495912 8.063965 51.277380
    Oben rechts KachelX + 1 68473 KachelY 43719 0.14079067 0.89495912 8.066711 51.277380
    Unten links KachelX 68472 KachelY + 1 43720 0.14074274 0.89492914 8.063965 51.275663
    Unten rechts KachelX + 1 68473 KachelY + 1 43720 0.14079067 0.89492914 8.066711 51.275663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89495912-0.89492914) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89495912-0.89492914) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14074274-0.14079067) × cos(0.89495912) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62555071081565 × 6371000     		do = 191.019434922616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14074274-0.14079067) × cos(0.89492914) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625574100436133 × 6371000     		du = 191.026577224608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89495912)-sin(0.89492914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62555071081565-0.625574100436133)×R²
    abs(0.14079067-0.14074274)×2.33896204829831e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33896204829831e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33896204829831e-05×40589641000000     		ar = 36485.8870020613m²