Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68471 / 48181
↖ ↑ ↗
← N 42.962452°
E  8.061218°		 ← 223.51 m → N 42.962452°
E  8.063965°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
N 42.960443°
E  8.061218°		 ← 223.52 m →
49 954 m²		 N 42.960443°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522396087646484 y=0.367595672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522396087646484 × 217)
    floor (0.522396087646484 × 131072)
    floor (68471.5)     		tx = 68471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367595672607422 × 217)
    floor (0.367595672607422 × 131072)
    floor (48181.5)     		ty = 48181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68471 / 48181 ti = "17/68471/48181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68471/48181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68471 ÷ 217
    68471 ÷ 131072     		x = 0.522392272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48181 ÷ 217
    48181 ÷ 131072     		y = 0.367591857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522392272949219 × 2 - 1) × π
    0.0447845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14069480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367591857910156 × 2 - 1) × π
    0.264816284179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.831944892906075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14069480} λ = 0.14069480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831944892906075))-π/2
    2×atan(2.29778333979014)-π/2
    2×1.16031629018428-π/2
    2.32063258036855-1.57079632675     		φ = 0.74983625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14069480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.061218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74983625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.962452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68471 KachelY 48181 0.14069480 0.74983625 8.061218 42.962452
    Oben rechts KachelX + 1 68472 KachelY 48181 0.14074274 0.74983625 8.063965 42.962452
    Unten links KachelX 68471 KachelY + 1 48182 0.14069480 0.74980117 8.061218 42.960443
    Unten rechts KachelX + 1 68472 KachelY + 1 48182 0.14074274 0.74980117 8.063965 42.960443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74983625-0.74980117) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74983625-0.74980117) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14069480-0.14074274) × cos(0.74983625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7318004774105 × 6371000     		do = 223.510702345438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14069480-0.14074274) × cos(0.74980117) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73182438464452 × 6371000     		du = 223.51800423008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74983625)-sin(0.74980117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7318004774105-0.73182438464452)×R²
    abs(0.14074274-0.14069480)×2.39072340200153e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39072340200153e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39072340200153e-05×40589641000000     		ar = 49954.2688685725m²