Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68470 / 69454
↖ ↑ ↗
← S 10.698394°
E  8.058471°		 ← 300.12 m → S 10.698394°
E  8.061218°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
S 10.701093°
E  8.058471°		 ← 300.11 m →
90 057 m²		 S 10.701093°
E  8.061218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522388458251953 y=0.529895782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522388458251953 × 217)
    floor (0.522388458251953 × 131072)
    floor (68470.5)     		tx = 68470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529895782470703 × 217)
    floor (0.529895782470703 × 131072)
    floor (69454.5)     		ty = 69454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68470 / 69454 ti = "17/68470/69454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68470/69454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68470 ÷ 217
    68470 ÷ 131072     		x = 0.522384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69454 ÷ 217
    69454 ÷ 131072     		y = 0.529891967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522384643554688 × 2 - 1) × π
    0.044769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14064686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.059783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.18781677271138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14064686} λ = 0.14064686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.18781677271138))-π/2
    2×atan(0.828766545968873)-π/2
    2×0.69203706273303-π/2
    1.38407412546606-1.57079632675     		φ = -0.18672220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14064686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.058471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18672220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.698394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68470 KachelY 69454 0.14064686 -0.18672220 8.058471 -10.698394
    Oben rechts KachelX + 1 68471 KachelY 69454 0.14069480 -0.18672220 8.061218 -10.698394
    Unten links KachelX 68470 KachelY + 1 69455 0.14064686 -0.18676930 8.058471 -10.701093
    Unten rechts KachelX + 1 68471 KachelY + 1 69455 0.14069480 -0.18676930 8.061218 -10.701093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18672220--0.18676930) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18672220--0.18676930) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14064686-0.14069480) × cos(-0.18672220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982618000386038 × 6371000     		do = 300.116829905203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14064686-0.14069480) × cos(-0.18676930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982609255695792 × 6371000     		du = 300.114159051713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18672220)-sin(-0.18676930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982618000386038-0.982609255695792)×R²
    abs(0.14069480-0.14064686)×8.74469024625402e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.74469024625402e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.74469024625402e-06×40589641000000     		ar = 90056.8869183287m²