Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68470 / 48191
↖ ↑ ↗
← N 42.942350°
E  8.058471°		 ← 223.58 m → N 42.942350°
E  8.061218°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
N 42.940339°
E  8.058471°		 ← 223.59 m →
49 985 m²		 N 42.940339°
E  8.061218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522388458251953 y=0.367671966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522388458251953 × 217)
    floor (0.522388458251953 × 131072)
    floor (68470.5)     		tx = 68470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367671966552734 × 217)
    floor (0.367671966552734 × 131072)
    floor (48191.5)     		ty = 48191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68470 / 48191 ti = "17/68470/48191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68470/48191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68470 ÷ 217
    68470 ÷ 131072     		x = 0.522384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48191 ÷ 217
    48191 ÷ 131072     		y = 0.367668151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522384643554688 × 2 - 1) × π
    0.044769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14064686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367668151855469 × 2 - 1) × π
    0.264663696289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.831465523909874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14064686} λ = 0.14064686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831465523909874))-π/2
    2×atan(2.29668211766402)-π/2
    2×1.16014086030349-π/2
    2.32028172060698-1.57079632675     		φ = 0.74948539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14064686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.058471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74948539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.942350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68470 KachelY 48191 0.14064686 0.74948539 8.058471 42.942350
    Oben rechts KachelX + 1 68471 KachelY 48191 0.14069480 0.74948539 8.061218 42.942350
    Unten links KachelX 68470 KachelY + 1 48192 0.14064686 0.74945030 8.058471 42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 68471 KachelY + 1 48192 0.14069480 0.74945030 8.061218 42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74948539-0.74945030) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74948539-0.74945030) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14064686-0.14069480) × cos(0.74948539) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73203955009645 × 6371000     		do = 223.583721297458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14064686-0.14069480) × cos(0.74945030) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 223.59102251127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74948539)-sin(0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73203955009645-0.732063455134092)×R²
    abs(0.14069480-0.14064686)×2.39050376422689e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39050376422689e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39050376422689e-05×40589641000000     		ar = 49984.8328924597m²