Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6847 / 1871
↖ ↑ ↗
← N 79.878159°
W 29.553223°		 ← 429.39 m → N 79.878159°
W 29.531250°		 →
↑
429.47 m
↓
↑
429.47 m
↓
N 79.874297°
W 29.553223°		 ← 429.55 m →
184 443 m²		 N 79.874297°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417938232421875 y=0.114227294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417938232421875 × 214)
    floor (0.417938232421875 × 16384)
    floor (6847.5)     		tx = 6847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114227294921875 × 214)
    floor (0.114227294921875 × 16384)
    floor (1871.5)     		ty = 1871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6847 / 1871 ti = "14/6847/1871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6847/1871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6847 ÷ 214
    6847 ÷ 16384     		x = 0.41790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1871 ÷ 214
    1871 ÷ 16384     		y = 0.11419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11419677734375 × 2 - 1) × π
    0.7716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.424073139987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51580104} λ = -0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.424073139987))-π/2
    2×atan(11.2917586879738)-π/2
    2×1.4824666023995-π/2
    2.96493320479899-1.57079632675     		φ = 1.39413688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39413688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.878159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6847 KachelY 1871 -0.51580104 1.39413688 -29.553223 79.878159
    Oben rechts KachelX + 1 6848 KachelY 1871 -0.51541754 1.39413688 -29.531250 79.878159
    Unten links KachelX 6847 KachelY + 1 1872 -0.51580104 1.39406947 -29.553223 79.874297
    Unten rechts KachelX + 1 6848 KachelY + 1 1872 -0.51541754 1.39406947 -29.531250 79.874297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39413688-1.39406947) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dl = 429.469109999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39413688-1.39406947) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dr = 429.469109999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51580104--0.51541754) × cos(1.39413688) × R
    0.000383500000000092 × 0.175741998416167 × 6371000     		do = 429.386646277357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51580104--0.51541754) × cos(1.39406947) × R
    0.000383500000000092 × 0.175808358865107 × 6371000     		du = 429.548783335505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39413688)-sin(1.39406947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175741998416167-0.175808358865107)×R²
    abs(-0.51541754--0.51580104)×6.636044894065e-05×R²
    0.000383500000000092×6.636044894065e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.636044894065e-05×40589641000000     		ar = 184443.117321792m²