Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68469 / 48211
↖ ↑ ↗
← N 42.902125°
E  8.055725°		 ← 223.68 m → N 42.902125°
E  8.058471°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
N 42.900113°
E  8.055725°		 ← 223.69 m →
50 036 m²		 N 42.900113°
E  8.058471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522380828857422 y=0.367824554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522380828857422 × 217)
    floor (0.522380828857422 × 131072)
    floor (68469.5)     		tx = 68469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367824554443359 × 217)
    floor (0.367824554443359 × 131072)
    floor (48211.5)     		ty = 48211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68469 / 48211 ti = "17/68469/48211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68469/48211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68469 ÷ 217
    68469 ÷ 131072     		x = 0.522377014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48211 ÷ 217
    48211 ÷ 131072     		y = 0.367820739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522377014160156 × 2 - 1) × π
    0.0447540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14059893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367820739746094 × 2 - 1) × π
    0.264358520507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.830506785917473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14059893} λ = 0.14059893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830506785917473))-π/2
    2×atan(2.29448125645456)-π/2
    2×1.15978982864323-π/2
    2.31957965728647-1.57079632675     		φ = 0.74878333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14059893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.055725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74878333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.902125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68469 KachelY 48211 0.14059893 0.74878333 8.055725 42.902125
    Oben rechts KachelX + 1 68470 KachelY 48211 0.14064686 0.74878333 8.058471 42.902125
    Unten links KachelX 68469 KachelY + 1 48212 0.14059893 0.74874822 8.055725 42.900113
    Unten rechts KachelX + 1 68470 KachelY + 1 48212 0.14064686 0.74874822 8.058471 42.900113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74878333-0.74874822) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74878333-0.74874822) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14059893-0.14064686) × cos(0.74878333) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732517656545084 × 6371000     		do = 223.683078613457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14059893-0.14064686) × cos(0.74874822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732541557156985 × 6371000     		du = 223.690376952825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74878333)-sin(0.74874822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732517656545084-0.732541557156985)×R²
    abs(0.14064686-0.14059893)×2.3900611901162e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3900611901162e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3900611901162e-05×40589641000000     		ar = 50035.5468956415m²