Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68468 / 68516
↖ ↑ ↗
← S  8.157118°
E  8.052979°		 ← 302.34 m → S  8.157118°
E  8.055725°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.159837°
E  8.052979°		 ← 302.33 m →
91 397 m²		 S  8.159837°
E  8.055725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522373199462891 y=0.522739410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522373199462891 × 217)
    floor (0.522373199462891 × 131072)
    floor (68468.5)     		tx = 68468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522739410400391 × 217)
    floor (0.522739410400391 × 131072)
    floor (68516.5)     		ty = 68516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68468 / 68516 ti = "17/68468/68516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68468/68516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68468 ÷ 217
    68468 ÷ 131072     		x = 0.522369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68516 ÷ 217
    68516 ÷ 131072     		y = 0.522735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522369384765625 × 2 - 1) × π
    0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142851960867767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14055099} λ = 0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142851960867767))-π/2
    2×atan(0.866882391913887)-π/2
    2×0.714213878811723-π/2
    1.42842775762345-1.57079632675     		φ = -0.14236857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14236857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.157118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68468 KachelY 68516 0.14055099 -0.14236857 8.052979 -8.157118
    Oben rechts KachelX + 1 68469 KachelY 68516 0.14059893 -0.14236857 8.055725 -8.157118
    Unten links KachelX 68468 KachelY + 1 68517 0.14055099 -0.14241602 8.052979 -8.159837
    Unten rechts KachelX + 1 68469 KachelY + 1 68517 0.14059893 -0.14241602 8.055725 -8.159837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14236857--0.14241602) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14236857--0.14241602) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14055099-0.14059893) × cos(-0.14236857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.989882701270738 × 6371000     		do = 302.335656548966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14055099-0.14059893) × cos(-0.14241602) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.98987596756523 × 6371000     		du = 302.333599901978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14236857)-sin(-0.14241602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989882701270738-0.98987596756523)×R²
    abs(0.14059893-0.14055099)×6.73370550741126e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.73370550741126e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.73370550741126e-06×40589641000000     		ar = 91396.952351492m²