Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68464 / 69136
↖ ↑ ↗
← S  9.838980°
E  8.041992°		 ← 300.93 m → S  9.838980°
E  8.044739°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.841686°
E  8.041992°		 ← 300.93 m →
90 551 m²		 S  9.841686°
E  8.044739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522342681884766 y=0.527469635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522342681884766 × 217)
    floor (0.522342681884766 × 131072)
    floor (68464.5)     		tx = 68464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527469635009766 × 217)
    floor (0.527469635009766 × 131072)
    floor (69136.5)     		ty = 69136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68464 / 69136 ti = "17/68464/69136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68464/69136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68464 ÷ 217
    68464 ÷ 131072     		x = 0.5223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69136 ÷ 217
    69136 ÷ 131072     		y = 0.5274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5223388671875 × 2 - 1) × π
    0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.172572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14035924} λ = 0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172572838632202))-π/2
    2×atan(0.841496993089473)-π/2
    2×0.699536870830041-π/2
    1.39907374166008-1.57079632675     		φ = -0.17172259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17172259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.838980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68464 KachelY 69136 0.14035924 -0.17172259 8.041992 -9.838980
    Oben rechts KachelX + 1 68465 KachelY 69136 0.14040718 -0.17172259 8.044739 -9.838980
    Unten links KachelX 68464 KachelY + 1 69137 0.14035924 -0.17176982 8.041992 -9.841686
    Unten rechts KachelX + 1 68465 KachelY + 1 69137 0.14040718 -0.17176982 8.044739 -9.841686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17172259--0.17176982) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17172259--0.17176982) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14035924-0.14040718) × cos(-0.17172259) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985291872960495 × 6371000     		do = 300.933499414922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14035924-0.14040718) × cos(-0.17176982) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985283801205983 × 6371000     		du = 300.931034093327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17172259)-sin(-0.17176982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985291872960495-0.985283801205983)×R²
    abs(0.14040718-0.14035924)×8.07175451289499e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.07175451289499e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.07175451289499e-06×40589641000000     		ar = 90551.2202553021m²