Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68463 / 43599
↖ ↑ ↗
← N 51.483093°
E  8.039246°		 ← 190.16 m → N 51.483093°
E  8.041992°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
N 51.481383°
E  8.039246°		 ← 190.17 m →
36 165 m²		 N 51.481383°
E  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522335052490234 y=0.332637786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522335052490234 × 217)
    floor (0.522335052490234 × 131072)
    floor (68463.5)     		tx = 68463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332637786865234 × 217)
    floor (0.332637786865234 × 131072)
    floor (43599.5)     		ty = 43599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68463 / 43599 ti = "17/68463/43599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68463/43599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68463 ÷ 217
    68463 ÷ 131072     		x = 0.522331237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43599 ÷ 217
    43599 ÷ 131072     		y = 0.332633972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522331237792969 × 2 - 1) × π
    0.0446624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14031131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332633972167969 × 2 - 1) × π
    0.334732055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05159176696517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14031131} λ = 0.14031131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05159176696517))-π/2
    2×atan(2.86220345487937)-π/2
    2×1.23467290742163-π/2
    2.46934581484327-1.57079632675     		φ = 0.89854949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14031131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.039246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89854949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.483093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68463 KachelY 43599 0.14031131 0.89854949 8.039246 51.483093
    Oben rechts KachelX + 1 68464 KachelY 43599 0.14035924 0.89854949 8.041992 51.483093
    Unten links KachelX 68463 KachelY + 1 43600 0.14031131 0.89851964 8.039246 51.481383
    Unten rechts KachelX + 1 68464 KachelY + 1 43600 0.14035924 0.89851964 8.041992 51.481383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89854949-0.89851964) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89854949-0.89851964) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14031131-0.14035924) × cos(0.89854949) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622745537460791 × 6371000     		do = 190.162841492474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14031131-0.14035924) × cos(0.89851964) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622768892552714 × 6371000     		du = 190.169973250755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89854949)-sin(0.89851964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622745537460791-0.622768892552714)×R²
    abs(0.14035924-0.14031131)×2.33550919237491e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33550919237491e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33550919237491e-05×40589641000000     		ar = 36164.7729164604m²